Παρασκευή 10 Απριλίου 2020

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 3o

Έστω $f: R→R$ μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο $R$, με $f′′(x) ≠ 0$, για κάθε $x∈R$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
• $f′ (x)e^{-x} - (f′(x))^2= 0$, για κάθε $x∈R$, 
• $2f ′(0) +1 = 0$ και 
• $f(0) = ln2$  
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει 
$f ′(x) + 1 = \dfrac{e^x}{1+e^x}$ , $x∈R$ 
β) Να αποδείξετε ότι: 
$f(x) =  ln(1 + e^x) - x$, $x∈R$ 
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f $ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. 
δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 
$2f(x) +x ≥  ln4$
για κάθε $x∈R$ 
ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f $.
στ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και να υπολογίσετε τα όρια: 
i)  $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f^{-1}(x)$
ii) $\lim_{x \to +\infty} f^{-1}(x)$
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2016».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου