Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 3o

Έστω $f: R→R$ μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο $R$, με $f′′(x) ≠ 0$, για κάθε $x∈R$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
• $f′ (x)e^{-x} - (f′(x))^2= 0$, για κάθε $x∈R$, 

• $2f ′(0) +1 = 0$ και 

• $f(0) = ln2$  

α) Να αποδείξετε ότι ισχύει 

$f ′(x) + 1 = \dfrac{e^x}{1+e^x}$ , $x∈R$ 

β) Να αποδείξετε ότι: 

$f(x) =  ln(1 + e^x) - x$, $x∈R$ 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f $ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. 

δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 

$2f(x) +x ≥  ln4$

για κάθε $x∈R$ 

ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f $.

στ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και να υπολογίσετε τα όρια: 

i)  $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f^{-1}(x)$
ii) $\lim_{x \to +\infty} f^{-1}(x)$

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2016».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o