Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 3o

Έστω $f:R\to R$ μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο $R$, με $f\prime \prime (x)\ne 0$, για κάθε $x\in R$, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:
• $f\prime (x)e^{-x}-(f\prime (x){)}^2=0$, για κάθε $x\in R$, 

• $2f\prime (0)+1=0$ και 

• $f(0)=ln2$  

α) Να αποδείξετε ότι ισχύει 

$f\prime (x)+1={\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x}}$ , $x\in R$ 

β) Να αποδείξετε ότι: 

$f(x)=ln(1+e^x)-x$, $x\in R$ 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. 

δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει: 

$2f(x)+x\ge ln4$

για κάθε $x\in R$ 

ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$.

στ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και να υπολογίσετε τα όρια: 

i)  $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{f}^{-1}(x)$
ii) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{-1}(x)$

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2016».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o