Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 24o

Έστω η συνάρτηση 

$f(x)=x+e^x-1$

1) Να µελετήσετε την $f$ ως προς τη µονοτονία. 

2) Να λύσετε την εξίσωση 

$e^x=1-x$ 

3) Θεωρούµε τη γνησίως µονότονη συνάρτηση $g:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re }$, η οποία για κάθε $x\in \mathrm{\Re }$ ικανοποιεί τη σχέση 

$g(x)+e^{g(x)}=2x+1$. 

α) Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι γνησίως αύξουσα. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$g(0)=0$

4) Να λύσετε την ανίσωση 

$(g\circ f)(x)>0$

5) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και ότι η $C_{f^{-1}}$ διέρχεται από το σηµείο $M(e,1)$ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της $C_{f^{-1}}$ στο ${\rm M}$. 

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o

ΘΕΜΑ 11o

ΘΕΜΑ 12o

ΘΕΜΑ 13o

ΘΕΜΑ 14o - 23o