Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 13o

Έστω συνάρτηση $f$ παραγωγίσιµη στο $\mathrm{\Re }$ τέτοια, ώστε 

$f^3+3f(x)=x^5+x+1$

για κάθε $x\in \mathrm{\Re }$. 

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathrm{\Re }$. 

β) Η εξίσωση $f(x)=0$ έχει µοναδική ρίζα $\rho \in (-1,0)$. 

γ) Η $f$ αντιστρέφεται. 

δ) To σηµείο $N(0,\rho )$ ανήκει στην $C_{f^{-1}}$. 

ε) Η εξίσωση 

$f(x)=f^{-1}(x)$ 

έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο $(0,1)$.  

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:
ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o

ΘΕΜΑ 11o

ΘΕΜΑ 12o