Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 11o

Αν $f$ συνεχής στο $0$, $f0)=2006$ και ισχύει

$xf(x)+x^4\sigma \upsilon \nu {\displaystyle \frac{1}{x}}=\eta \mu (\alpha x)$, $\alpha \ne 0$ 

για κάθε $x\in {\mathrm{\Re }}^{\ast }$. 

Α) i) Να αποδείξετε ότι $f$ συνεχής στο  $\mathrm{\Re }$ 

ii) Να βρείτε το $\alpha$. 

Β) i) Να βρείτε τα όρια: 

$\underset{x\to -\infty }{lim}f(x)$ και $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)$

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x)=0$ 

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $\mathrm{\Re }$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2006».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o