Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 11o

Αν $f$ συνεχής στο $0$, $f 0)=2006$ και ισχύει

$xf(x) + x^{4}συν \dfrac{1}{x} =ημ(αx)$, $α ≠ 0$ 

για κάθε $x∈ \Re^{*}$. 

Α) i) Να αποδείξετε ότι $f$ συνεχής στο  $\Re$ 

ii) Να βρείτε το $α$. 

Β) i) Να βρείτε τα όρια: 

$ \lim_{x \rightarrow −∞}f(x)$ και $ \lim_{x\rightarrow+∞}f(x)$

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x) =0$ 

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο $\Re$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2006».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o