Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Οι καθηγητές προτείνουν επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 42ο

 Του Νίκου Σουρμπή 

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=x^3+\alpha x+\beta$,  $\alpha ,\beta \in R$,  $x\in R$

όπου η εφαπτομένη στο σημείο της ${\rm M}(0,-2)$ είναι παράλληλη στην ευθεία $\epsilon :y=2x-4$.

1) Να δειχτεί ότι 

$\alpha =2$, $\beta =-2$. 

Να μελετηθεί η μονοτονία και το σύνολο τιμών της. Να δείξετε ότι η $f$ έχει μοναδική ρίζα $\rho$.

2) Να δειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να λυθεί η ανίσωση: 

$f^{-1}(0)+f(4+f(x^3+6\eta \mu x-6x))<10+f^{-1}(-2)+\rho$

3) Να βρεθεί το σημείο ${\rm K}(x,f(x))$, $x\ge 0$ της $C_f$ που απέχει από την ευθεία $\epsilon :y=2x-4$ ελάχιστη απόσταση.

4) Αν δίνεται ότι

${\alpha }^{f(x)}\ge f(x)+1$ 

για κάθε $x\in R$, να δείξετε ότι $\alpha =e$.

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o

ΘΕΜΑ 11o

ΘΕΜΑ 12o

ΘΕΜΑ 13o

ΘΕΜΑΤΑ 14o - 23o

ΘΕΜΑ 24o

ΘΕΜΑ 25o

ΘΕΜΑΤΑ 26ο - 31ο
ΘΕΜΑΤΑ 32ο - 41ο