Tου Κωνσταντίνου Σερίφη
Έστω η συνάρτηση $f: [0,2] \rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$f^{2}(1) +f(0)f(2)>f(1)(f(0)+f(2))$
και η συνάρτηση
$g(x) = f(x+1) - f(x)$.
α. Να δείξετε ότι η $f$ δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη.
β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$.
γ. Αν οι $f , g$ είναι συνεχείς στο $0$ να δείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $1$.
δ. Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$ και παραγωγίσιμη στο $(0, 2)$ να δείξετε ότι υπάρχει $ξ \in (0,2)$ τέτοιο ώστε:
$f ' (ξ) = 0$
ε. Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$ και έχει ελάχιστο στο $0$, να δείξετε ότι υπάρχει $x\in [0,1)$ τέτοιο ώστε
$f (x_0)= f(2)$.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου