Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Οι καθηγητές προτείνουν επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 60ο

 Tου Κωνσταντίνου Σερίφη 

Έστω η συνάρτηση $f:[0,2]\to R$ για την οποία ισχύει: 

$f^2(1)+f(0)f(2)>f(1)(f(0)+f(2))$

και η συνάρτηση 

$g(x)=f(x+1)-f(x)$. 

α. Να δείξετε ότι η $f$ δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη. 

β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$. 

γ. Αν οι $f,g$ είναι συνεχείς στο $0$ να δείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $1$. 

δ. Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,2)$ να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,2)$ τέτοιο ώστε: 

$f^{\prime }(\xi )=0$ 

ε. Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[0,2]$ και έχει ελάχιστο στο $0$, να δείξετε ότι υπάρχει $x\in [0,1)$ τέτοιο ώστε 

$f(x_0)=f(2)$.

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o

ΘΕΜΑ 11o

ΘΕΜΑ 12o

ΘΕΜΑ 13o

ΘΕΜΑΤΑ 14o - 23o

ΘΕΜΑ 24o

ΘΕΜΑ 25o

ΘΕΜΑΤΑ 26ο - 31ο

ΘΕΜΑΤΑ 32ο - 41ο

ΘΕΜΑ 42o

ΘΕΜΑ 43o

ΘΕΜΑ 44o

ΘΕΜΑ 45o

ΘΕΜΑΤΑ 46ο - 50ο

ΘΕΜΑΤΑ 51ο - 58ο

ΘΕΜΑ 59o