Η Πρωταπριλιάτικη Φάρσα του Martin Gardner και η Εικασία του Ramanujan

Στις $1$ Απριλίου $1975$, ο διάσημος μαθηματικός και συγγραφέας Martin Gardner, γνωστός για τη στήλη του $\mathit{\text{Mathematical Games}}$ στο περιοδικό $\mathit{\text{Scientific American}}$, παρουσίασε μία από τις πιο διάσημες μαθηματικές φάρσες όλων των εποχών. 

Ο Gardner ανακοίνωσε ότι είχε αποδειχθεί η εικασία του Srinivasa Ramanujan, σύμφωνα με την οποία ο αριθμός $e^{\pi \sqrt{163}}$ είναι ακέραιος. 

Συγκεκριμένα, η αριθμητική τιμή της παράστασης είναι: $$e^{\pi \sqrt{163}}\approx 262537412640768743.99999999999925$$

Γενίκευση

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο και μία τυχούσα χορδή $AT$ που τέμνει την πλευρά $BC$ στο $D$. 

 

Ένας άλλος κύκλος εφάπτεται στα τμήματα $BD,AD$ στα $E,N$ αντίστοιχα και εσωτερικά στον περίκυκλο του $ABC$ στο σημείο $Z$. Να δείξετε ότι $${\displaystyle CE\cdot AT=CT\cdot AN+AC\cdot NT.}$$

Πηγή: mathematica

Μαθηματικά από Έναν Άλλο Κόσμο: Οι Εμπνεύσεις του Ραμανουτζάν

 

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [7]

Έστω συνάρτηση $g:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$ για την οποία ισχύει: 

$$(g\circ g)(x)-g(x)=e^x-\ln (x+1)-1,\text{για κάθε }x\ge 0.$$ Α. Να δείξετε ότι η $g$ αντιστρέφεται.

Β. Δίνεται, επίσης, ότι η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\mathrm{\infty })$ με $g^{\prime }(0)\ne 0$. 

1. Να δείξετε ότι η $g$ δεν έχει ακρότατα στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

2. Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_g$ στο $x_0=0$. 

3. Να υπολογίσετε το όριο: 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(g(x))$. 

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$g(g(x))=1821$ 

έχει τουλάχιστον μία λύση $x_0$, με $x_0\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

5. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,x_0)$ ώστε: 

Νικόλαος Chuquet (1445-1488): Ένας μαθηματικός με πάθος για γρίφους

Ο Νικόλαος Chuquet ήταν ένας Γάλλος μαθηματικός που έζησε τον 15ο αιώνα. Ήταν γνωστός για το έργο του στην άλγεβρα και την αριθμητική, καθώς και για τη συλλογή προβλημάτων και γρίφων που συνέταξε.

Το σημαντικότερο έργο του Chuquet ήταν το "Triparty en la science des nombres", το οποίο έγραψε το $1484$. Το χειρόγραφο αυτό, όμως, ανακαλύφθηκε μόλις το $1870$ από τον Aristide Marre και δημοσιεύτηκε σε δύο μέρη το $1880$ και $1881$. Το πρώτο μέρος ήταν μια πραγματεία για την άλγεβρα, ενώ το δεύτερο μέρος περιείχε μια συλλογή από $166$ προβλήματα.

[41] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Δείξτε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>0$ και $x\ne 1$, ισχύει: $${\displaystyle \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}}\le {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+x}}{1+x}}.$$

Polish Mathematical Olympiad Finals 2024

 

Η Γεωμετρία του Φωτός και ο Νόμος του Αντίστροφου Τετραγώνου

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές $A,B$ και $C$, το ύψος $CD$ στην υποτείνουσα $AB$, μας δίνει τη σχέση:

${\displaystyle \frac{1}{C{D}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{C}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{B{C}^2}}$

Και το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$