Εξωτερικός και εσωτερικός κύκλος

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Στη συνέχεια εγγράφεται ένας δεύτερος κύκλος σε αυτό το τρίγωνο.

1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις είναι η εξίσωση του εσωτερικού κύκλου:

α. $(χ+ 2)^2+ ( y + 1)^2= 4$

β. $( χ− 4)^2+y^2= 9$
γ. $x^2+y^2− 3x− y =\dfrac{45}{2}$

2. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις είναι η εξίσωση του εξωτερικού κύκλου:

α. $( χ− 3)^2+ ( y +\dfrac{1}{2} )^2= 16$
β. $( χ+\dfrac{3}{2} )^2+ ( y −\dfrac{3}{2} )^2= 8$
γ. $x^2+y^2+ 14 y + 29 = 0$

3. Ποιο είναι το εμβαδόν του ισoπλεύρου τριγώνου, συναρτήσει της ακτίνας $r$ του εσωτερικού κύκλου;

Higher Power Geometric Intentities

Γύρω από τον Ισημερινό

Φανταστείτε ότι υπάρχει ένα σχοινί γύρω από τον ισημερινό της Γης. Προσθέστε ένα τμήμα σχοινιού $20$ μέτρων σε αυτό. 

Το νέο σχοινί κρατιέται σε κυκλικό σχήμα με κέντρο γύρω από τη Γη. Ποιο από τα παρακάτω μπορεί να περπατήσει κάτω από το σχοινί χωρίς να το αγγίξει: 

1. μια αμοιβάδα 

2. ένα μυρμήγκι 

3. ένας μαθητής (όπως εσείς) 

4. όλα τα παραπάνω

Μου θύμισε ο κ. Δόρτσιος ότι το πρόβλημα αυτό είχε αναρτηθεί ξανά με τίτλο Ισημερινό πρόβλημα και μου είχε στείλει τότε μία, όπως γράφω, εντυπωσιακή λύση μαζί με τον κ. Χρόνη Μωυσιάδη, καθηγητή στο Α.Π.Θ. 

Κάντε κλικ στον σύνδεσμο του τίτλου για να την δείτε.

The Product Rule (geometrically)

Theorem (The Product Rule): 

If $f$ and $g$ are differentiable functions, then the derivative of the product $fg$ is

 $ddx[f(x)g(x)]=f(x)⋅ddxg(x)+g(x)⋅ddxf(x)$. 

We will now derive the product rule geometrically. 

Suppose $f$ and $g$ are positive functions that are differentiable, and denote $Δx$ to be the change in $f(x)$ and $g(x)$. Therefore, we can denote the change in $f(x)$ and the change in $g(x)$ to be: 

(1) $Δf(x)=f(x+Δx)−f(x)Δg(x)=g(x+Δx)−g(x)$ 

The diagram above illustrates the area of $f(x)g(x)$ as well as the area 

$(f(x)+Δf(x))(g(x)+Δg(x))$.

Read more »

Min και Max

Έστω $M$ και $m$ η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $$f(x)=\cos (2002 x)+k \cos (x+\alpha)$$ όπου $k$, $\alpha$ πραγματικοί αριθμοί.

Να αποδειχθεί ότι $$M^{2}+m^{2} \geq 2.$$

$E_{max}=?$

Δίνεται ότι: $$\begin{cases}a,b,c \in R^{*}\\a+b+c=0\\a^5+b^5+c^5=5(a^3+b^3+c^3) \end{cases}$$

 

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης:$$E=20( |a | + |b | + |c |).$$

ΒΙΒΛΙΟ: Problems In Probability Theory, Mathematical Statistics And Theory Of Random Functions (pdf)

Click on the image.

Αριθμογρίφος Νο 401

Ματ σε 2

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε δύο κινήσεις.

7 men have 3 wives ...

Μαθηματικά γραμματόσημα: Juraj (Jur) Hronec (1881-1959)

Juraj (Jur) Hronec (1881-1959) 

Euclid και Cauchy

Στον παρακάτω πολλαπλασιασμό σε κάθε γράμμα αντιστοιχεί και ένα ψηφίο. Σε διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν διαφορετικά ψηφία. 

Ποιος είναι ο αριθμός Cauchy;