Ένας αυτοκινητόδρομος έχει μια μόνο λωρίδα κυκλοφορίας και τα αυτοκίνητα κινούνται σε αυτόν με 130 χλμ/ώρα.
Το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα περνά ένα αυτοκίνητο κάθε δέκα (10) δευτερόλεπτα, το μήκος δε του κάθε αυτοκινήτου είναι τέσσερα (4) μέτρα.
Οι οδηγοί έχουν σε λειτουργία όλοι τον αυτόματο πιλότο οπότε όλα τα αυτοκίνητα φρενάρουν και επιταχύνουν με τον ίδιο ρυθμό.
Λίγα μέτρα μετά το σημείο ελέγχου για αδιευκρίνιστο λόγο ένας οδηγός άρχισε να οδηγεί αργά αλλά με σταθερή ταχύτητα. Αυτονόητα πίσω του δημιουργείται ένα κομβόι αυτοκινήτων το όποιο συνεχώς μεγαλώνει.
Ο αυτόματος πιλότος κινεί τα αυτοκίνητα με τέτοια ταχύτητα έτσι ώστε το καθένα από αυτά να κρατά από το προπορευόμενο απόσταση ασφαλείας τόσα μέτρα, όση η ταχύτητα του αυτοκινήτου σε χιλιόμετρα, συν ένα (1) επιπλέον μέτρο, πχ εάν ένα αυτοκίνητο κινείται με 80 χλμ /ώρα η απόσταση ασφαλείας από το προπορευόμενο αυτοκίνητο είναι 81 μέτρα.
Είναι αυτονόητο ότι το κάθε αυτοκίνητο θα αποκτήσει με αυτόν τον τρόπο την ταχύτητα του προπορευόμενου αυτοκινήτου, δηλαδή όλα τα αυτοκίνητα που εισέρχονται στο κομβόι θα κινούνται με την ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου.
Ποια είναι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το κομβόι για να μην μεταφερθεί το πρόβλημα πριν το σημείο ελέγχου?
Πηγή
Πηγή
Αν δεν έχω παραλείψει κάτι ουσιώδες, η απάντηση προκύπτει ως εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω χ σε km/h ή χ/3,6 σε m/sec η ταχύτητα κίνησης του κομβόι.
Εφόσον στο σημείο ελέγχου φθάνει 1 αυτοκίνητο ανά 10 sec και στη συνέχεια το αυτοκίνητο αυτό συνεχίζει και προστίθεται στο κομβόι, στο κομβόι κάθε 10 sec προστίθεται ένα μήκος ίσο με το μήκος του προστιθέμενου αυτοκινήτου συν την απόσταση ασφαλείας του από το προπορευόμενο αυτοκίνητο, δηλαδή συνολικά:4+χ+1 = χ+5 m. Έχουμε δηλαδή έναν ρυθμό αύξησης του μήκους του κομβόι (χ+5)/10 m/sec.
Για να μη φτάσει η επιμήκυνση αυτή του κομβόι πίσω μέχρι το σημείο ελέγχου, θα πρέπει η ταχύτητα κίνησης του κομβόι να είναι μεγαλύτερη ή ίση του ρυθμού επιμήκυνσης του κομβόι, δηλαδή:
χ/3,6 >= (χ+5)/10 ==> x>= 2,8125 km/h.
Συμφωνώ με την λύση του papadim με μία προϋπόθεση, που στα δεδομένα δεν υπάρχει ή δεν είναι σαφής, το σημείο που περνάνε τα αυτοκίνητα κάθε 10 δευτερόλεπτα και το σημείο ελέγχου αυτοκινήτων πρέπει να είναι Ένα και το Αυτό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τα δεδομένα:
"Το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα περνά ένα αυτοκίνητο κάθε δέκα (10) δευτερόλεπτα" και παρακάτω χωρίς καμία συσχέτιση "Σε ένα σημείο τα αυτοκίνητα σταματούν στιγμιαία για έναν ηλεκτρονικό έλεγχο και ξανά ξεκινούν." Από ποιο σημείο περνάνε τα αυτοκίνητα κάθε 10 δευτερόλεπτα?
Αν συμπίπτουν τα σημεία, η πιθανότερη εκδοχή, η ταχύτητα του κομβόϊ είναι αυτή που υπολόγισε ο papadim, αν δεν συμπίπτουν και το σημείο που περνάνε τα αυτοκίνητα με 130χλμ/ωρα, βρίσκεται πριν από το σημείο ελέγχου, η ταχύτητα του κομβόϊ πρέπει να είναι αρκετά μεγαλύτερη.
Ίσως δεν έχω αντιληφθεί πλήρως την επιφύλαξη του αγαπητού Ευθύμιου, αλλά αν τα αυτοκίνητα κινούνται όλα με σταθερή ταχύτητα 130Km/h και διέρχονται από κάποιο σημείο του δρόμου με σταθερό ρυθμό 1 αυτοκινήτου ανά 10 sec, τι θα μπορούσε να αλλάξει αυτό το ρυθμό σε κάποιο επόμενο σημείο, πριν από τη συνάντηση με το κομβόι? Π.χ. στο σημείο ελέγχου?
ΑπάντησηΔιαγραφήΕύλογο το ερώτημα σου papadim αφού δεν διατύπωσα σωστά
ΑπάντησηΔιαγραφήτον προβληματισμό μου, όχι με την λύση που έδωσες και η οποία είναι ορθότατη στην μία, και πιθανότερη εκδοχή και ερμηνεία ενός δεδομένου αλλά με την ασάφεια, κατά την άποψη μου, για το από πότε χρονικά ισχύει αυτή η παραδοχή.
Γράφει “Ο αυτόματος πιλότος κινεί τα αυτοκίνητα με τέτοια ταχύτητα έτσι ώστε το καθένα από αυτά να κρατά από το προπορευόμενο απόσταση ασφαλείας τόσα μέτρα, όση η ταχύτητα του αυτοκινήτου σε χιλιόμετρα, συν ένα (1) επιπλέον μέτρο.”
Και το ερώτημα είναι από πότε λειτουργεί ο αυτόματος πιλότος,
από το σημείο ελέγχου και μετέπειτα ή και πιο πριν?
Αν από το σημείο ελέγχου και μετέπειτα, σωστά σε αυτήν την
περίπτωση ελάχιστη ταχύτητα κομβόϊ 2,8125 χλμ/ώρα.
Αν και πιο πριν από το σημείο ελέγχου τότε ελάχιστη ταχύτητα
κομβόϊ 48,6 χλμ/ώρα (10*48,6/3,6=135=130+1+4)
Η σωστότερη ερμηνεία, ο συντάξας ξέρει, πιθανόν να αφορά
μόνον τα μετά τον έλεγχο αυτοκίνητα, αλλά θα μπορούσε να
γράφει “Ο αυτόματος πιλότος κινεί τα αυτοκίνητα Του Κομβόϊ..”
Και εν κατακλείδι μπορούμε να το δούμε σαν διεύρυνση του
προβλήματος...
" “Ο αυτόματος πιλότος κινεί τα αυτοκίνητα με τέτοια ταχύτητα έτσι ώστε το καθένα από αυτά να κρατά από το προπορευόμενο απόσταση ασφαλείας τόσα μέτρα, όση η ταχύτητα του αυτοκινήτου σε χιλιόμετρα, συν ένα (1) επιπλέον μέτρο.”
ΔιαγραφήΚαι το ερώτημα είναι από πότε λειτουργεί ο αυτόματος πιλότος,
από το σημείο ελέγχου και μετέπειτα ή και πιο πριν? "
Απόσταση ασφαλείας νομίζω ότι είναι ένα min που δεν πρέπει να παραβιαστεί προς τα κάτω. Δεν είναι ανασφαλές να κρατάς μεγαλύτερη απόσταση.
Εάν κινείσαι στον αυτοκινητόδρομο με 130 km/h και το προπορευόμενο αυτοκίνητο είναι δυο χιλιόμετρα μπροστά σου και κινείται και αυτό με 130 km/h θα είναι συνεχώς δυο χιλιόμετρα μπροστά σου.
Εάν αναπτύξεις ταχύτητα, θα καλύψεις τη διαφορά αλλά όταν το πλησιάσεις στα 131 μέτρα θα μειωθεί αυτόματα η ταχύτητά σου στα 130 km/h.
Η απόσταση ασφαλείας νομίζω ότι θα πρέπει να νοείται ως η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο αυτοκινήτων που θα πρέπει να τηρείται όπου χρειάζεται. Αν οι συνθήκες κίνησης και κυρίως η πυκνότητα κυκλοφορίας (αριθμός αυτοκινήτων ανά συγκεκριμένο μήκος δρόμου) δεν την επιβάλλουν, τότε η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων μπορεί να είναι μεγαλύτερη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣτις δεδομένες συνθήκες του προβλήματος, ξέρουμε ότι σε κάποιο σημείο του δρόμου πριν από το μποτιλιάρισμα, τα αυτοκίνητα διέρχονται με συχνότητα 1 αυτοκινήτου ανά 10 sec, ήτοι 360 αυτοκινήτων ανά h. Εάν τα οχήματα κινούνται με 130 km/h, η πυκνότητα κυκλοφορίας είναι 360/130=2,77 οχήματα ανά km δρόμου ή καλύτερα 1/2,77*1000=361,11 m/αυτοκίνητο, που είναι πολύ μεγαλύτερο της απόστασης ασφαλείας (πλέον μήκους αυτοκινήτου) των 130+1+4=135 m.
Αν υποθέσουμε τώρα ότι η απόσταση μεταξύ των αυτοκινήτων πριν από το μποτιλιάρισμα ήταν όση ακριβώς η απόσταση ασφαλείας, τότε, για να διατηρηθεί ο ρυθμός διέλευσης του 1 αυτοκινήτου ανά 10 sec, δηλαδή 360 αυτοκίνητα ανά ώρα, θα έπρεπε η ταχύτητά τους να είναι υ σε km/h, τέτοια ώστε να ισχύει:
1000*υ/360 = (υ+1)+4 ==> υ = 2,8125 km/h
Δηλαδή όση ακριβώς και η ταχύτητα του κομβόι που ήδη υπολογίσαμε, τουτέστιν θα είχαμε άλλο ένα κομβόι πριν από το σταθμό, πράγμα που ακυρώνει το ίδιο το ερώτημα του προβλήματος.
Παρατήρηση: Αγαπητέ Ευθύμιε, νομίζω ότι ο υπολογισμός σου που καταλήγει σε ταχύτητα 48,6 km/h δεν είναι ακριβής, διότι αν ίσχυε αυτή η ταχύτητα, τότε η απόσταση ασφαλείας δε θα ήταν 130+1 m, αλλά 48,6+1 m.
Σωστό είναι αυτό που γράφεις Τάκη Κωτσιόπουλε και εσύ και ο
ΑπάντησηΔιαγραφήpapadim για την απόσταση ασφαλείας οχημάτων (S>=U+1, με
βάση το πρόβλημα, θέμα που μου είναι γνωστό κοντά 40 χρόνια,
όσα και οδηγώ και μάλιστα τυχαίνει να ανήκω στην μειοψηφία
των οδηγών που το εφαρμόζουν στην πράξη), σωστό μεν αλλά
τελείως άσχετο με το ερώτημα μου:Το ερώτημα μου (εν μέρει
ρητορικό, εν μέρει διαφωνία για την ασάφεια του κειμένου),
ήταν “ΑΠΟ ΠΟΤΕ λειτουργεί ο αυτόματος πιλότος με την
εντολή για την απόσταση ασφαλείας, ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΕΠΕΙΤΑ ή ΚΑΙ ΠΙΟ ΠΡΙΝ? " και όχι τι σημαίνει απόσταση ασφαλείας!
Πέρα από την ασάφεια του σημείου που περνάνε τα αυτοκίνητα
κάθε 10 δευτερολέπτα, υπάρχει και η διατύπωση:
“Σε ένα σημείο τα αυτοκίνητα σταματούν στιγμιαία για έναν ηλεκτρονικό έλεγχο και ξανά ξεκινούν.
Οι οδηγοί έχουν σε λειτουργία όλοι τον αυτόματο πιλότο”.
ΈΧΟΥΝ σε λειτουργία τον αυτόματο, άρα και την εντολή
S>=U+1 (και όχι βάζουν σε λειτουργία την εντολή για την
απόσταση ασφαλείας και σε αυτή την περίπτωση δεν παίζει
κανένα ρόλο η απόσταση του αυτοκινήτου, που έπαθε την
βλάβη, από το σημείο ελέγχου), άρα όπως εγώ το
αντιλαμβάνομαι, την είχαν και πριν φτάσουν στο σημείο
ελέγχου, μαζί φυσικά με τις εντολές U=130 κλμ/ώρα και
για στιγμιαίο σταμάτημα στο σημείο ελέγχου και ξανά ξεκίνημα. Αν λοιπόν ισχύει το “ΕΧΟΥΝ”, τότε το αυτοκίνητο που έπαθε την βλάβη πρέπει σε 10 δευτερόλεπτα από την χρονική στιγμή που πέρασε από το σημείο ελέγχου να έχει διανύσει 135 τουλάχιστον μέτρα, και το πίσω μέρος του φυσικά απέχει από το επόμενο αυτοκίνητο, που σταματά στο σημείοελέγχου, τουλάχιστον 131 μ. για να μην μεταφερθεί το πρόβλημα πριν το σημείο ελέγχου. Σε αυτά τα 135 μέτρααναφέρθηκα τελείως συνοπτικά και το 48,6 χλμ/ώρα είναι η μέση ωριαία ταχύτητα του 1ου αυτοκινήτου που έπεται αυτού που έπαθε την βλάβη για να διανύσει τα 135 αυτά μέτρα. Ως εδώ θεωρώ τους συλλογισμούς μου σωστούς.
Συνέχεια του προhγούμενου σχολίου
ΔιαγραφήΛάθος είναι, και σωστά το παρατηρείς, ότι αυθαίρετα και χωρίς να το καλοσκεφτώ το θεώρησα ως ελάχιστη
ταχύτητα του κομβόϊ.
Και σε αυτή την περίπτωση (S>=U+1 να ισχύει και πριν το σημείο ελέγχου και το αυτοκίνητο να έχει πάθει βλάβη αφού έχει διανύσει τουλάχιστον 135 μ) η ελάχιστη ταχύτητα του κομβόϊ είναι η ίδια 2,8125 κλμ/δευτ!
Η ουσία του ερωτήματος, κατά την άποψή μου, είναι ο υπολογισμός της ελάχιστης ταχύτητας με την οποία πρέπει να κινείται ένα κομβόι αυτοκινήτων, που αρχίζει κάποια στιγμή, για κάποιο λόγο, σε κάποιο σημείο του δρόμου, όπου η συχνότητα προσέλευσης αυτοκινήτων είναι 1 αυτοκίνητο ανά 10 δευτερόλεπτα, έτσι ώστε το οριακό σημείο που χωρίζει το κομβόι από το ‘μη κομβόι’ να μη μετακινηθεί προς την πλευρά του ‘μη κομβόι’.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ τήρηση της απόστασης ασφαλείας, όπως αυτή ορίζεται συγκεκριμένα, είναι ένας περιορισμός που πρέπει αυτονόητα να ισχύει οπουδήποτε, αλλά, στο συγκεκριμένο πλαίσιο του προβλήματος, το ενδιαφέρον του περιορίζεται εντός του κομβόι και όχι πριν από αυτό.
Ο αυτόματος πιλότος, η ύπαρξη πριν από την αρχή του κομβόι ενός σημείου στιγμιαίας ακινητοποίησης και ελέγχου των προσερχόμενων αυτοκινήτων, το ‘χαλασμένο’ αυτοκίνητο λίγα μέτρα μετά από το σημείο ελέγχου, όπως και η ταχύτητα των 130km/h πριν από το κομβόι, συνιστούν το αφηγηματικό και όχι μαθηματικό πλαίσιο του γρίφου και ίσως θα μπορούσαν να λείπουν, χωρίς απώλεια της μαθηματικής ουσίας του.