Ζουμ στο σημείο επαφής

Έστω $f$ μία συνάρτηση και $Α(x_0, f(x_0))$ ένα σημείο της γραφικής της παράστασης.

Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο $M(x ,f(x))$, $x ≠ x0$, της γραφικής παράστασης της $f$ και την ευθεία $ΑΜ$ που ορίζουν τα σημεία $Α$ και $M$, παρατηρούμε ότι : 

Καθώς το $x$ τείνει στο $x0$ με $x > x_0$, η τέμνουσα $ΑΜ$ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση $ε$ (Σχ. α).

Την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το $x$ τείνει $x_0$ στο με $x < x_0$ (Σχ. β).

Την οριακή θέση της $ΑΜ$ θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $Α$. Επειδή η κλίση της τέμνουσας $ΑΜ$ είναι ίση με

, 

είναι λογικό να αναμένουμε ότι η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $Α(x_0, f(x_0))$ θα έχει κλίση το

Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω f μια συνάρτηση και $Α(x_0, f(x_0))$ ένα σημείο της $C_f$ . Αν υπάρχει το

και είναι ένας πραγματικός αριθμός $λ$, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $Α$, την ευθεία ε που διέρχεται από το $Α$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $λ$.

Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο $Α(x_0, f(x_0))$ είναι

$y − f(x_0) = λ(x − x_0)$,

όπου