Ο Γρίφος των Περιστεριών: Πάνω και Κάτω

Ένα κοπάδι περιστεριών κατέβηκε σε ένα δέντρο, χωρισμένο σε δύο ομάδες: κάποια κάθισαν στα πάνω κλαδιά και τα υπόλοιπα στα κάτω. 

Τα περιστέρια στα πάνω κλαδιά είπαν σε εκείνα στα κάτω:«Αν κάποιο από εσάς πετάξει σε εμάς, τότε ο αριθμός μας θα είναι διπλάσιος του δικού σας. Αν, όμως, κάποιο από εμάς πετάξει σε εσάς, τότε οι αριθμοί μας θα γίνουν ίσοι.

Πόσο μεγάλο ήταν το κοπάδι;

Είναι δυνατόν μια τετράγωνη χαρτοπετσέτα να διπλωθεί έτσι ώστε να αυξηθεί η περίμετρός της;

Αυτή η απλή αλλά συναρπαστική ερώτηση έχει μαγέψει τους μαθηματικούς από το 1956, όταν ο Σοβιετικός μαθηματικός Βλαντιμίρ Άρνολντ την έθεσε για πρώτη φορά.

Αν κάθε πτυχή πρέπει να περιλαμβάνει όλα τα στρώματα της χαρτοπετσέτας, τότε η απάντηση είναι κατηγορηματικά όχι: η περίμετρος ενός διπλωμένου τετραγώνου μονάδας δεν μπορεί ποτέ να υπερβεί το $4$. (Το $4$ εδώ αντιπροσωπεύει την περίμετρο ενός τετραγώνου με μήκος πλευράς 1, δηλαδή $4\times 1=4$.)

Crack the Code of LOVE! ❤️🔢

Ένα sangaku του 1893

Το ορθογώνιο που αποκόπτεται από ένα ορθογώνιο τρίγωνο αφήνει στο εσωτερικό του τρία ορθογώνια τρίγωνα με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων $r_1,r_2,r_3$, σε αύξουσα σειρά. 

Δείξτε ότι όταν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι μέγιστο, τότε ισχύει η σχέση $$r_1^2\cdot r_2^2=r_3^2.$$

Διαγώνιοι και γωνίες

Ποιο είναι το μέτρο της κάθε γωνίας ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με $54$ διαγώνιους;

Πόσοι Άνδρες Βρίσκονται στη Συνάντηση;

Σε μια συνάντηση υπάρχουν συνολικά $47$ άτομα, από τα οποία $m$ είναι γυναίκες και $n$ είναι άνδρες. Κάθε γυναίκα ρωτάται πόσους από τους παρόντες άνδρες γνωρίζει. 

Συγκεκριμένα:

• η πρώτη γυναίκα γνωρίζει $16$ άνδρες
• η δεύτερη $17$ άνδρες
• η τρίτη $18$ άνδρες 

και ούτω καθεξής,μέχρι την τελευταία γυναίκα, η οποία γνωρίζει όλους τους $n$ άνδρες.

Να υπολογίσετε τον αριθμό των ανδρών $n$ που βρίσκονται στη συνάντηση.

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2002 [Shortlists & Solutions]

1. A student is playing computer. Computer shows randomly 2002 positive numbers. Game's rules let do the following operations
   
   • to take 2 numbers from these, to double first one, to add the second one and to save the sum.
   • to take another 2 numbers from the remainder numbers, to double the first one, to add the second one, to multiply this sum with previous and to save the result.
   • to repeat this procedure, until all the $2002$ numbers won't be used.
   Student wins the game if final product is maximum possible. Find the winning strategy and prove it.
   
2. Positive real numbers are arranged in the form
   $1361015...$
   $25914...$
   $4813...$
   $712...$
   $11...$
   Find the number of the line and column where the number 2002 stays.

Ισοσκελές πολύγωνο

Πολλά μη επικαλυπτόμενα ισοσκελή τρίγωνα έχουν κοινή κορυφή ${\rm O}$. Κάθε τρίγωνο μοιράζεται μία πλευρά με το επόμενο, δημιουργώντας ένα κυρτό πολύγωνο.

Η μικρότερη γωνία ενός από τα τρίγωνα έχει γωνία $m$ μοίρες στην κορυφή ${\rm O}$, όπου $m$ είναι θετικός ακέραιος. Τα υπόλοιπα τρίγωνα έχουν γωνίες στην κορυφή Ο, των οποίων το μέτρο σε μοίρες είναι $2m$, $3m$, $4m$ κ.ο.κ.

Στο σχήμα έχει σχεδιαστεί ένα σύνολο $5$ τριγώνων που πληρούν αυτή την προϋπόθεση. Ποια είναι η μικρότερη τιμή του $m$ για την οποία μπορεί να υπάρξει ένα τέτοιο σύνολο τριγώνων;

Πόσο χρονών ήταν ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός όταν πέθανε;

Η ηλικία του Διόφαντου του Αλεξανδρινού όταν πέθανε προέρχεται από ένα γνωστό μαθηματικό πρόβλημα που περιλαμβάνεται σε επιγραφή για αυτόν. 

Το πρόβλημα περιγράφει τη ζωή του μέσα από έναν γρίφο: 

Πέρασε το ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ της ζωής του ως παιδί. Πέρασε το ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ της ζωής του ως έφηβος. Έπειτα, μετά από ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ της ζωής του, παντρεύτηκε. Πέντε χρόνια αργότερα απέκτησε έναν γιο. Ο γιος του έζησε το μισό της ζωής του Διόφαντου και πέθανε. 

Άθροισμα εμβαδών