Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [9]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1-e^x}{x}},& \text{αν }x\ne 0\\ 1,& \text{αν }x=0\end{array}$$ Δ1) Να δείξετε ότι 

$(x+1)e^x<1$ 

για κάθε $x\ne 0$. 

Δ2) Να δείξετε ότι:

α) η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται με πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ το $D_{f^{-1}}=(0,+\mathrm{\infty })$ και 

β) ισχύει 

$e^{f^{-1}(x)}(1-xf(f^{-1}(x)))=1$ 

για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

Δ3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

${\displaystyle \frac{(x^5+1)f(-\alpha )}{x-1}}={\displaystyle \frac{f^{-1}(e^{\alpha }-1)}{x-2}}$

όπου $\alpha >0$, έχει μια τουλάχιστον λύση ως προς $x$ στο διάστημα $(1,2)$. 

Δ4) Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση 

$g(x)={\displaystyle \frac{{\ln }^{2}x-e^{-x}}{x}},x>0$. 

Να υπολογίσετε το εμβαδόν $E(\mathrm{\Omega })$ του χωρίου $\mathrm{\Omega }$ που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$.