Μαθηματική Απόδειξη με Τετράγωνα: Ένα Όμορφο Παράδειγμα

Θεώρημα: 

Αν έχουμε δύο αριθμούς $a$ και $b$ έτσι ώστε το $ab+1$ να είναι τετράγωνο, δηλαδή αν υπάρχει $m$ τέτοιο ώστε: $$ab+1=m^2$$ τότε είναι πάντα δυνατό να βρούμε έναν αριθμό $c$ για τον οποίο τα $ac+1$ και $bc+1$ είναι και τα δύο τετράγωνα.

Παράδειγμα: 

Έστω $a=8$ και $b=3$. Έχουμε:

$$8\times 3+1=25=5^2.$$

Επιπλέον, αν θέσουμε $c=21$, τότε:

$$8\times 21+1=169={13}^2\text{και}3\times 21+1=64=8^2.$$

Απόδειξη:

1. Αν $ab+1=m^2$, τότε ορίζουμε τον αριθμό $c$ ως:
$$c=a+b+2m.$$
2. Τώρα εξετάζουμε τα $ac+1$ και $bc+1$:

• $ac+1=a(a+b+2m)+1=a^2+ab+2am+1=$

$=a^2+2am+m^2=(a+m{)}^2.$

• $bc+1=b(a+b+2m)+1=$

$=ab+b^2+2bm+1=b^2+2bm+m^2=(b+m{)}^2.$

Άρα, έχουμε δείξει ότι τόσο το $ac+1$ όσο και το $bc+1$ είναι τετράγωνα, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Πηγή: Via Edward Barbeau, Power Play, 1997.