Το Πρόβλημα των 36 Αξιωματικών: Η Πρόκληση του Euler

Ας φανταστούμε ότι έχουμε μια ομάδα $36$ αξιωματικών, οργανωμένους σε έξι συντάγματα, με κάθε σύνταγμα να αποτελείται από έξι διαφορετικούς βαθμούς: συνταγματάρχης, αντισυνταγματάρχης, ταγματάρχης, λοχαγός, υπολοχαγός και ανθυπολοχαγός.

Το ερώτημα είναι αν μπορούμε να τους τοποθετήσουμε σε ένα τετράγωνο πλέγμα 6×6 με τέτοιον τρόπο ώστε κάθε σειρά και κάθε στήλη να περιέχει από έναν αξιωματικό κάθε συντάγματος και κάθε βαθμού, χωρίς επαναλήψεις.

Το $1782$, ο μαθηματικός Leonhard Euler ασχολήθηκε με αυτό το πρόβλημα, γνωστό ως Πρόβλημα των Ορθογώνιων Τετραγώνων του Euler, και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει τέτοια διάταξη, αν και δεν μπόρεσε να το αποδείξει αυστηρά. Παρατήρησε ότι το πρόβλημα είναι αδύνατο σε ένα τετράγωνο $2\times 2$ και υπέθεσε ότι αυτό ισχύει για κάθε τετράγωνο με πλευρά που είναι πολλαπλάσιο του $4k+2$.

Η απόδειξη αυτής της αδυναμίας για το τετράγωνο $6\times 6$ ήρθε το $1901$ από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Tarry, ο οποίος χρησιμοποίησε εξαντλητική απαρίθμηση. Ωστόσο, μόλις το $1960$ αποδείχθηκε ότι η εικασία του Euler ήταν λανθασμένη: τέτοια τετράγωνα είναι δυνατά για όλα τα μεγέθη, εκτός από το $2\times 2$ και το $6\times 6$.

Μπορείτε να φανταστείτε μια στρατηγική για να επιβεβαιώσετε ότι το 6×6 είναι αδύνατο;