Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [96]

 Του Νίκου Παπαγγελή  

Δίνεται η συνάρτηση$$f(x)=x^2\cdot \ln (1+\frac{1}{x}),x>0.$$

(α) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης συνάρτησης $f^{-1}$.

(β) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή και να βρείτε το σύνολο τιμών της γωνίας $\omega$ που σχηματίζει κάθε εφαπτομένη της $C_f$ με τον άξονα $x^{\prime }x$.

(γ) Να βρείτε την ασύμπτωτη $(e)$ της $C_f$ στο $+\mathrm{\infty }$. Κατόπιν να αποδείξετε ότι, στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, η $(\epsilon )$ είναι κάτω από την $C_f$.

(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και τις ευθείες $(\epsilon )$, $x=1$ και $x=2$.

(ε) Δίνεται ότι η συνάρτηση $f^{-1}$ είναι συνεχής.

(i) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f^{-1}$ στο $+\mathrm{\infty }$.

(ii) Να αποδείξετε ότι$${\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx+{\int }_{\frac{\ln 3}{4}}^{\ln 2}{f}^{-1}(x)dx=\ln 2-\frac{1}{8}\ln 3.$$