Four Functional Equation Problems

1. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\mathrm{\infty })\to (0,+\mathrm{\infty })$, για τις οποίες ισχύει

$f(xf(y))+f(y^{2023}f(x))=xy+x{y}^{2023}$, $\mathrm{\forall }x,y\in (0;+\mathrm{\infty })$.

2. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει

$x^{2}f(x)+yf\left(y^2\right)=f(x+y)f(x^2-xy+y^2)$, $\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}$.

3. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R\to R$ που ικανοποιούν τις συνθήκες 

$f(x+1)=f(x)+1$ 

και

$f(x^{2024}+x^{2023}+\dots +x+1)=$

$=(f(x){)}^{2024}+(f(x){)}^{2023}+\dots +f(x)+1,x\in \mathbb{R}$.

4. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$, για τις οποίες ισχύει

$f(x)+f(y+{\displaystyle \frac{x+f(x)}{2}})=2x+f(f(y)),\mathrm{\forall }x,y\ge 0$.