Four Functional Equation Problems

1. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$, για τις οποίες ισχύει

$f(x f(y))+f\left(y^{2023} f(x)\right)=x y+x y^{2023}$, $\forall x, y \in(0 ;+\infty)$.

2. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει

$x^2 f(x)+y f\left(y^2\right)=f(x+y) f\left(x^2-x y+y^2\right)$, $\forall x, y \in \mathbb{R}$.

3. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:R→R$ που ικανοποιούν τις συνθήκες 

$f(x+1)=f(x)+1$ 

και

$f\left(x^{2024}+x^{2023}+\ldots+x+1\right)=$

$=(f(x))^{2024}+(f(x))^{2023}+\ldots+f(x)+1,\,x \in \mathbb{R}$.

4. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$, για τις οποίες ισχύει

$f(x)+f\left(y+\dfrac{x+f(x)}{2}\right)=2 x+f(f(y)),\, \forall x, y \geq 0$.