Ανισότητα επιλογής

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $x,y,z$ που ικανοποιούν τις ισότητες

$xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1$. 

Να αποδειχθεί ότι 

$$\frac{1}{3}(\sqrt{\frac{1+x^2}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y^2}{1+y}}+\sqrt{\frac{1+z^2}{1+z}})\le {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^{5/8}.$$

USA Team Selection Test 2012