Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 51ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Έστω  ισοσκελές τρίγωνο με  με περίκεντρο το  και έγκεντρο το  Το σημείο  βρίσκεται στην  έτσι ώστε η ευθεία  να είναι κάθετη στην ευθεία  Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  και  είναι παράλληλες.

ΘΕΜΑ 2ο

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί  με κενά μεταξύ τους.

Ένας μαθητής, ο Α, τοποθετεί στα κενά 50  και 50  και υπολογίζει την τιμή της παράστασης που προκύπτει (με τη συνήθη προτεραιότητα πράξεων.)

Έστω ότι το αποτέλεσμα που βρίσκει είναι ο αριθμός 

Στη συνέχεια ο μαθητής Β αλλάζει όλα τα  σε  και όλα τα  σε  στην παράσταση που σχημάτισε ο Α και υπολογίζει την τιμή της νέας παράστασης, έστω 

Αν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του αριθμού  είναι  να δείξετε ότι κάποιος από τους μαθητές έκανε λάθος στις πράξεις.

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω  θετικοί πραγματικοί αριθμοί με  Να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 4ο

∆ύο φίλοι συµφώνησαν να συναντηθούν στο Λευκό Πύργο µεταξύ 8:00 μ.µ. και 9:00 μ.µ. Ωστόσο, κανένας από τους δύο δεν θα περιµένει τον

άλλο για περισσότερο από 15 λεπτά της ώρας. Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο φίλοι να συναντηθούν;

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica