Σφαίρες σε κώνο

Ένα δοχείο έχει σχήμα κυκλικού κώνου με διάμετρο βάσης $18$ και ύψος $12$. Η κορυφή του δοχείου είναι στραμμένη προς τα κάτω και το δοχείο είναι ανοιχτό από πάνω. Τέσσερις σφαίρες, η καθεμία με ακτίνα $3$, τοποθετούνται μέσα στο δοχείο όπως φαίνεται στην εικόνα παρακάτω.

Η πρώτη σφαίρα βρίσκεται στο κάτω μέρος και εφάπτεται στον κώνο κατά μήκος ενός κύκλου. Η δεύτερη, η τρίτη και η τέταρτη σφαίρα τοποθετούνται έτσι ώστε η καθεμία να εφάπτεται στον κώνο και να εφάπτεται στην πρώτη σφαίρα, και η δεύτερη και η τέταρτη σφαίρα να εφάπτονται στην τρίτη σφαίρα. Ο όγκος του τετραέδρου του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στα κέντρα των σφαιρών είναι $Κ$.

Βρείτε το $K^2$.

Γράφει ο κ. Κ. Δόρτσιος:

Το σχήμα, έτσι όπως εμφανίζεται στην ανωτέρω εικόνα, δεν βοηθάει στην όλη επεξεργασία της μελέτης αυτής. Βέβαια το πρόβλημα είναι καθαρά υπολογιστικό αλλά η κατασκευή του σχήματος αυτού με τη βοήθεια λογισμικού είναι ενδιαφέρουσα και οδηγεί εύκολα στη λύση του.

Διαβάστε περισσότερα εδώ. 

Κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα για να δείτε το σχετικό αρχείο Geogebra.