Τα παράδοξα του Chevαlier de Mere

O Chevalier de Meré (1607-1684), γάλλος ευγενής και διάσημος παίκτης τυχερών παιχνιδιών στα μέσα του 17ου αιώνα, στοιχημάτιζε στο ότι θα φέρει τουλάχιστον ένα $6$ σε τέσσερις ζαριές με ένα ζάρι και κατά κανόνα κέρδιζε. 

Μέσα στις προκλήσεις των τζογαδόρων της εποχής σκέφτηκε και έναν άλλο συνδυασμό για να κερδίζει: να στοιχηματίσει στο ότι θα φέρει τουλάχιστον δύο εξάρια $(6,6)$ σε $24$ ζαριές με δύο ζάρια. Και πίστευε ότι θα είχε την ίδια επιτυχία με την προηγούμενη, γιατί πίστευε ότι ο λόγος $4$ προς $6$ (ο αριθμός των εδρών του ζαριού) είναι ίσος με το λόγο του $24$ προς $36$ (ο αριθμός των δυνατών συνδυασμών των εδρών $2$ ζαριών). Το κακό είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση έχανε. Τότε έσπευσε να συμβουλευτεί τον Pascal.

Το παράδοξο μπορεί να θεωρηθεί ως τέτοιο κάτω από την ισχύ ενός "νόμου" που είναι γνωστός ως ο παλιός νόμος των παικτών (βλέπε τη μελέτη του W.Weaver στο βιβλίο του "Lady Luck, the theory of probability. Anchor Books, Doubleday & Combany, Inc. Garden City, New York, 1963, σελ. 115-123")

Ένα άλλο παράδοξο του de Mere

Ο de Mere συνήθιζε να παίζει με τρία ζάρια ποντάροντας εναλλακτικά στο άθροισμα $11$ ή $12$ γιατί πίστευε ότι πρόκειται για ισοπίθανες περιπτώσεις.

Πράγματι, ο de Mere υπολόγιζε ότι υπάρχουν έξι τρόποι για εμφάνιση του $11$, οι:

$6-4-1,6-3-2,5-5-1,5-4-2,5-3-3,4-4-3$

και άλλοι έξι για εμφάνιση του $12$. οι:

$6-5-1.6-4-2,6,-3-3,5-5-2,5-4-3,4-4-4$

Στην πράξη όμως διαπίστωσε ότι το $11$ έρχεται συχνότερα από το $12$, πράγμα που το θεώρησε παράδοξο. Έθεσε το πρόβλημα στον Pascal. ο οποίος έλυσε σωστά το πρόβλημα καθορίζοντας ως σύνολο ισοπίθανων δυνατών περιπτώσεων (δειγματοχώρο) το σύνολο των 63=216 διατεταγμένων τριάδων

$(\alpha ,\beta ,\gamma ),\alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3,4,5$ ή $6$,

και όχι τις $56$ μη διατεταγμένες τριάδες που σχηματίζονται με τα τρία ζάρια. Ο Pascal παρατήρησε ότι ο τρόπος $6-4-1$ πετυχαίνεται με έξι διατεταγμένες τριάδες, τις $(6,4,1),(6,1,4),(4,6,1),(4,1,6),(1,6,4),(1.4,6)$. Όμοια ο τρόπος $5-5-1$ πετυχαίνεται με τρεις διατεταγμένες τριάδες, τις $(5,5,1),(5,1,5),(1,5,5)$, ενώ ο τρόπος $4-4-4$ πετυχαίνεται με μία μοναδική τριάδα. Μετρώντας τώρα όλες τις διατεταγμένες τριάδες που δίνουν $11$ ή $12$ και θέτοντας ${\rm P}(11)$ ή ${\rm P}(12)$ την αντίστοιχη πιθανότητα βρίσκουμε: 

${\rm P}(11)=27/216$ και ${\rm P}(12)=25/216$.

Άρα ${\rm P}(11):{\rm P}(12)=27:25$ που σημαίνει ότι το $11$ εμφανίζεται συχνότερα από το $12$, όπως σωστά παρατήρησε ο de Mere.