Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Δύο ωραίες ασκήσεις

 Tου Γώργου Πολύζου   

ΑΣΚΗΣΗ 1η: 

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi \in (0,+\mathrm{\infty })$ ισχύει: 

•  $\chi \sqrt{2{\chi }^2+\chi }\ge 3ln\chi +2$ 

• $\sqrt{e^{2(\chi -1)}+{\chi }^2}\ge \sqrt{2}(ln\chi +1)$

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi \in R$ ισχύει: 

• ${\chi }^2+2\eta \mu \chi +{\rm I}>0$
• ${\chi }^2+2\eta \mu \chi +1\le e^{\mid x\mid }$   

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

ΑΣΚΗΣΗ 2η : 

Δίνεται η συνάρτηση:

$f(\chi )=\sqrt{4+\sqrt{16-8{\chi }^2+{\chi }^4}}$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f$ και την παραστήσετε γραφικά. 

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $\chi ΄\chi$ και τις κατακόρυφες ευθείες $\chi =-2$ και $\chi =2$.