Τετάρτη 4 Οκτωβρίου 2023

Μοναδιαία σφαίρα

Να βρεθεί το μήκος των ακμών ενός κανονικού τετραέδρου εγγεγραμμένου σε μοναδιαία σφαίρα.
Αναρτήθηκε από στις 4.10.23
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. kfd4 Οκτωβρίου 2023 στις 9:18 μ.μ.

    H κάθετος από την πάνω κορυφή του κ.4έδρου προς το επίπεδο του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου περνάει από το κέντρο της σφαίρας και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ισ. τριγώνου. Το ίχνος αυτής της καθέτου είναι το περίκεντρο του ισ, τρ. και αν x το μήκος της ακμής θα ισχύει ότι η απόσταση της κορυφής του ισ. τρ. από το περίκεντρο θα είναι τα 2/3 του ύψους του που είναι $\frac{x\sqrt{3}}{2}$ δηλ. $\frac{x}{\sqrt{3}}$. Άρα η κάθετος από ΠΘ θα είναι
    $\sqrt{x^{2}-\frac{x^{2}}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}x$.
    H απόσταση του κέντρου της σφαίρας από το περίκεντρο του τριγώνου θα είναι
    $\sqrt{\frac{2}{3}}x-1$ και από ΠΘ στο τρ. με κορυφές τα 2 αυτά σημεία και την μία κορυφή του εγγεγραμμένου τρ. θα ισχύει
    $1=(\sqrt{\frac{2}{3}}x-1)^{2}+(\frac{x}{\sqrt{3}})^{2}$=>$x=2\sqrt{\frac{2}{3}}$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)