Έστω δύο κύκλοι που τέμνονται στα σημεία $Α$ και $Β$. Έστω και μια ευθεία που διέρχεται από το $Β$ και τέμνει τους κύκλους στα σημεία $Κ$ και $Μ$ (βλ. σχήμα).
Έστω $Ε$ και $F$ τα µέσα σημεία των τόξων $AK$ και $AM$, αντίστοιχα, και έστω $L$ το μέσο σημείο του τμήματος $KM$.
Αποδείξτε ότι η γωνία $ELF$ είναι ορθή.
Προεκτείνουμε την FL κατά τμήμα LR=FL. Το τετράπλευρο KFMR είναι παραλληλόγραμμο. Είναι :
ΑπάντησηΔιαγραφήFA=FM=KR (1)
ΕΑ=EK (2)
Και γ. EKR=γ. EKB+γ. BMF (3)
Από τα εγγραψιμα τετράπλευρα EABK & AFMB προκυπτουν :
γ. ΕΚΒ=180°-γ. ΕΑΒ
γ. FMB=180°-γ. BAF
από όπου με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε γ. EKB+γ. BMF=γ. ΕΑF (4). Επομένως, από (3),(4) παίρνουμε γ. ΕΚR=γ. ΕΑF (5).
Άρα, από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα EAF και EKR είναι ίσα, επομένως ER=EF. Στο ισοσκελές τρίγωνο EFR, το L είναι το μέσο της βάσης του FR, άρα γ. ΕLF=90°.
Σωκράτη, έπρεπε να βάλεις ως ζητούμενο την εγγραψιμοτητα του τετραπλεύρου EBLF . Στην ουσία, έχοντας δείξει ότι γ. ΕLF=90°, θέλουμε να δείξουμε ότι και γ. ΕΒF=90°. Το τελευταίο είναι άμεσο, καθώς οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικων γωνιών τέμνονται κάθετα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπλά, μπορείς να "καμουφλάρεις " την καθετοτητα με κάποιον τρόπο, κάνοντας το θέμα πιο δύσκολο.