Ένα τετράγωνο δωμάτιο με διαστάσεις $4$ m επί $4$ m έχει μια καταπακτή στο κέντρο του δαπέδου του δωματίου. Η καταπακτή είναι ένα τετράγωνο $1$m επί $1$ m. Ένα στρογγυλό βαρέλι με κυκλικό πυθμένα διαμέτρου $1$m τοποθετείται όρθιο τυχαία μέσα στο δωμάτιο (έτσι ώστε ο επίπεδος στρογγυλός πυθμένας να κάθεται επίπεδος στο πάτωμα).
Αν κάθε επιτρεπτή τοποθέτηση του βαρελιού στο δωμάτιο είναι εξίσου πιθανή, ποια είναι η πιθανότητα κάποιο μέρος του βαρελιού να καλύπτει κάποιο μέρος του της καταπακτής;
(Α) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{π}{36}$
(B) $\dfrac{1}{16}$
(Γ) $π - $\dfrac{1}{9}$
(Δ) $\dfrac{1}{4} + $\dfrac{π}{24}$
(Ε) $\dfrac{4}{9} + $\dfrac{π}{18}$
Απάντηση (Α)
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο κέντρο της βάσης του βαρελιού μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο ενός τετραγώνου πλευράς 4-2*1/2=3, εμβαδού 9 (συνολικές περιπτώσεις) και για να συμβεί το ζητούμενο το ίδιο κέντρο πρέπει να βρίσκεται σε μια περιοχή, μέσα ή γύρω από την καταπακτή, εμβαδού 1+4*1/2+π(1/2)^2=3+π/4 (ευνοϊκές περιπτώσεις).
Πιθανότητα:(3+π/4)/9=1/3+π/36