Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο θέμα

 Toυ Κώστα Ντούλα   

Έστω η συνάρτηση $f:R\to R$, ώστε για κάθε $\chi \in R$ να ισχύει: 

$\alpha \chi \le f(\chi )\le {\chi }^2+1$ (1) 

όπου $\alpha$ πραγματικός αριθμός. 

i. Να βρείτε τις δυνατές τιμές τον $\alpha$.

ii. Να βρείτε την τιμή τον $\alpha$, αν ισχύει η ισότητα 

$\alpha =\underset{x\to 1}{lim}({\displaystyle \frac{4}{x-1}}-{\displaystyle \frac{8}{x^2-1}})$ 

Δίνεται $\alpha =2$ 

iii. (α) Να δείξετε ότι 

$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=1$ 

(β) Να προσδιορίσετε ,εφόσον υπάρχουν, τις τιμές των παρακάτω ορίων 

(i) $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\mid f(x)-4\mid -2}{f^2(x)-3f(x)+2}}$

(ii) $\underset{x\to 1}{lim}({\displaystyle \frac{\sqrt{(1-x{)}^3}}{x-1}}\sigma \upsilon \nu {\displaystyle \frac{1}{f(\chi )-2}})$

iv. Να δείξετε ότι 

(α) Ισχύει η συνεπαγωγή 

$\chi >0=\chi >\eta \mu \chi$.

(β) Για κάθε $\chi \in R$ ισχύει 

$g(\chi )>\eta \mu g(\chi )$

όπου $g$ η συνάρτηση με τύπο 

$g(\chi )=f(1){\chi }^2-f(-1)\chi +1$, $\chi \in R$.

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Ζαχαριάδης-Πάτσης -Τρύφων)