Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο θέμα

 Toυ Κώστα Ντούλα   

Έστω η συνάρτηση $f:R \rightarrow R$, ώστε για κάθε $χ \in R$ να ισχύει: 

$αχ \leq f (χ)\leq χ^2 + 1$ (1) 

όπου $α$ πραγματικός αριθμός. 

i. Να βρείτε τις δυνατές τιμές τον $α$.

ii. Να βρείτε την τιμή τον $α$, αν ισχύει η ισότητα 

$α = \lim_{x \rightarrow 1}(\dfrac{4}{x-1}- \dfrac{8}{x^2 -1})$ 

Δίνεται $α =2$ 

iii. (α) Να δείξετε ότι 

$\lim_{x \rightarrow 1}f(x) =1$ 

(β) Να προσδιορίσετε ,εφόσον υπάρχουν, τις τιμές των παρακάτω ορίων 

(i) $\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\mid f(x)-4 \mid -2}{f^2(x)-3f(x)+2}$

(ii) $\lim_{x \rightarrow 1} \big( \dfrac{ \sqrt{(1-x)^3}}{x-1}συν \dfrac{1}{f(χ)-2}\big)$

iv. Να δείξετε ότι 

(α) Ισχύει η συνεπαγωγή 

$χ > 0 = χ > ημχ$.

(β) Για κάθε $χ \in R$ ισχύει 

$g(χ) > ημg(χ)$

όπου $g$ η συνάρτηση με τύπο 

$g(χ) = f(1)χ^2 -f(-1)χ+1$, $χ \in R$.

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Ζαχαριάδης-Πάτσης -Τρύφων)