Δύο πολυώνυμα $f(x)$ και $g(x)$ ικανοποιούν τις σχέσεις
$f(x) · g(x)=4x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 6x + 9$
$f(x) + g(x)=4x^2 + 2x + 6$
Ποιο είναι το γινόμενο όλων των συντελεστών του $f(x)$;
Σημείωση: οι συντελεστές περιλαμβάνουν και τους σταθερούς όρους· για παράδειγμα, το γινόμενο όλων των συντελεστών του πολυωνύμου
$x^3 − 3x^2 + 2x + 4$ είναι $(1)(−3)(2)(4) = −24$.
Τα f,g θα είναι τριώνυμα, γιατί αν μ.ν οι βαθμοί τους αντίστοιχα, θα είναι μ+ν=4 και θα είναι τουλάχιστον 2ου βαθμού. Αν α,β,γ οι συντελεστές του f (κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x) και δ,ε,ζ του g, από την ισότητα των πολυωνύμων θα ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφήαδ=4, αε+βδ=4, αζ+βε+γδ=13, βζ+γε=6, γζ=9 από την 1η ισότητα και
α+δ=4, β+ε=2, γ+ζ=6 από την 2η ισότητα.
Άρα α=δ=2, γ=ζ=3, β=ε=1 και f(x)=g(x)=2x^2+x+3 με ζητούμενο γινόμενο 6.