Η τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος

Η τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος από τις μαθήτριες Calcea Johnson και Ne’Kiya Jackson

Δύο μαθήτριες απέδειξαν το Πυθαγόρειο θεώρημα με έναν πρωτότυπο τρόπο χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Όμως, ένας μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Elisha Scott Loomis, θεωρούσε ότι η οποιαδήποτε απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος με χρήση τριγωνομετρίας είναι μια κυκλική απόδειξη. Σύμφωνα λοιπόν με τα μέσα ενημέρωσης, συμπεριλαμβανομένου και του περιοδικού scientificamerican, οι μαθήτριες απέδειξαν κάτι που οι μαθηματικοί θεωρούσαν αδύνατο(;).

Οι μαθήτριες Calcea Johnson και Ne’Kiya Jackson, που φοιτούν στην Ακαδημία St Mary’s στη Νέα Ορλεάνη, ανακοίνωσαν το επίτευγμά τους, μια τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, τον περασμένο μήνα σε συνέδριο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας.

Ο Elisha Scott Loomis, θεωρούσε ότι οποιαδήποτε τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος είναι μια κυκλική απόδειξη. Ο ισχυρισμός του διατυπώνεται στη σελίδα 244 του βιβλίου του The Pythagorean Proposition (1927): «δεν υπάρχουν τριγωνομετρικές αποδείξεις, επειδή όλοι οι θεμελιώδεις τύποι της τριγωνομετρίας βασίζονται στην ισχύ του Πυθαγορείου θεωρήματος. Γιατί εξαιτίας αυτού του θεωρήματος ισχύει: sin2x+cos2x=1 κ.λπ. Η τριγωνομετρία υπάρχει επειδή το Πυθαγόρειο θεώρημα υπάρχει«.

Εικόνα από το βιβλίο του Loomis

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η εξίσωση που υπολογίζει την μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου αθροίζοντας τα τετράγωνα των άλλων δύο πλευρών.

Συνήθως διατυπώνεται ως a2 + b2 = c2. Σε αυτή την εξίσωση, τα a, b και c αντιπροσωπεύουν τα μήκη των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ενός τριγώνου με γωνία 90 μοιρών μεταξύ των πλευρών του a και b. Το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς c ονομάζεται υποτείνουσα. Αν και το θεώρημα πήρε το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα, ορισμένοι ιστορικοί πιστεύουν ότι ήταν γνωστό στη Βαβυλώνα περίπου 1.000 χρόνια νωρίτερα. Το θεώρημα «συνδέει την άλγεβρα και τη γεωμετρία», αναφέρει ο Stuart Anderson, ομότιμος καθηγητής μαθηματικών σε πανεπιστήμιο του Texas: «Η διατύπωση a2 + b2 = c2, αυτή είναι μια αλγεβρική πρόταση. Αλλά το σχήμα από το οποίο προέρχεται είναι γεωμετρικό».

Εν τω μεταξύ, η τριγωνομετρία εστιάζει σε συναρτήσεις που εξαρτώνται από γωνίες. Αυτές οι συναρτήσεις, όπως το ημίτονο και το συνημίτονο, ορίζονται χρησιμοποιώντας ορθογώνια τρίγωνα.

Φανταστείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και την μια οξεία γωνία του ω. Οι μαθηματικοί ορίζουν το ημίτονο αυτής της γωνίας ως το μήκος της απέναντι κάθετη πλευράς διαιρούμενο με το μήκος της υποτείνουσας: sinω=b/c. Το συνημίτονο αυτής της γωνίας ορίζεται ως το μήκος της προσκείμενης πλευράς διαιρούμενο με την υποτείνουσα: cosω=a/c. Επομένως το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση sin2ω + cos2ω = 1, αφού (b/c)2+(a/c)2=1 ή a2 + b2=c2. «Πολλές από τις βασικές τριγωνομετρικές «ταυτότητες» δεν είναι τίποτα άλλο από το θεώρημα του Πυθαγόρα», εξηγεί ο Anderson scientificamerican, αναφερόμενος σε εξισώσεις που περιγράφουν σχέσεις μεταξύ διαφορετικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ο Loomis πίστευε πως χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε μια απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, είναι σαν να υποθέτουμε εξ’ αρχής την ισχύ του θεωρήματος.

Όσοι προτείνουν τριγωνομετρικές αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος θεωρούν ότι οι αποδείξεις τους δεν είναι κυκλικές, αρκεί να μην χρησιμοποιήσουν την σχέση sin2x+cos2x=1, που στην ουσία ισοδυναμεί με το Πυθαγόρειο.

Στην ομιλία τους στο συνέδριο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, οι Johnson και Jackson δήλωσαν ότι η τριγωνομετρική ταυτότητα που ονομάζεται νόμος των ημιτόνων δεν εξαρτάται από το Πυθαγόρειο θεώρημα (ή την τριγωνομετρική ταυτότητα sin2x + cos2x = 1), και ότι θα μπορούσαν να τη χρησιμοποιήσουν για να αποδείξουν το θεώρημα.

Η απόδειξη των μαθητριών προστίθεται σε μερικές ακόμα τριγωνομετρικές αποδείξεις που προτάθηκαν στο παρελθόν. Κάθε μια από αυτές παρακάμπτει την εξίσωση sin2x+cos2x=1 (ή εξισώσεις που προκύπτουν από αυτή) για να αποδείξει το θεώρημα.

Παλαιότερες τριγωνομετρικές (και όχι μόνο) αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος περιλαμβάνονται στον ιστότοπο του μαθηματικού Alexander Bogomolny. Μια από αυτές δημιουργήθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Jason Zimba και είναι πολύ σύντομη. Η απόδειξή του βασίζεται στις τριγωνομετρικές ταυτότητες που υπολογίζουν το συνημίτονο και το ημίτονο της γωνίας (x – y):

cos (x – y) = cosx cosy + sinx siny

sin (x – y) = sinx cosy – cosx siny

τις αποδείξεις των οποίων θεωρεί ανεξάρτητες του πυθαγορείου θεωρήματος.

Έτσι, για 0<y<x<90°, ισχύει 0<x – y<90° και

cos y = cos (x – (x – y))

= cos x cos(x – y) + sin x sin(x – y)

= cos x (cos x cos y + sin x sin y) + sin x (sin x cos y – cos x sin y)

= (cos²x + sin²x)cos y, που συνεπάγεται την τριγωνομετρική μορφή του πυθαγορείου θεωρήματος: sin²x + cos²x = 1. Δείτε όλες τις λεπτομέρειες της απόδειξης στην δημοσίευσή του στο Forum Geometricorum το 2009.

Ψάχνοντας στο διαδίκτυο δεν βρίσκουμε την απόδειξη που παρουσίασαν οι δυο μαθήτριες, αν εξαιρέσουμε την περίληψη της ανακοίνωσης ή τις ελάχιστες διαφάνειες από την παρουσίασή τους εδώ. Έτσι, την απόδειξή τους επιχειρεί να περιγράψει το youtube κανάλι polymathematic, με βάση τα λίγα αυτά στοιχεία, στο βίντεο που ακολουθεί:

Η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία ενθάρρυνε τις μαθήτριες της Νέας Ορλεάνης να υποβάλουν την απόδειξη τους προς δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό με κριτές.

Πηγή: physicsgg.me