Τετάρτη 12 Ιουλίου 2023

$x\in[3,7]$

Έστω $x, y$ και $z$ πραγματικοί αριθμοί. Αν ισχύουν
$x + y + z = 15$ και
$xy + yz + zx = 72$
να αποδείξετε ότι
                          $3 ≤ x ≤ 7$.
Αναρτήθηκε από στις 12.7.23
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. PAPAVERI4812 Ιουλίου 2023 στις 11:44 μ.μ.

    Από την εξίσωση (1) της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
    x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2*(xy+yz+zx) (3)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές των εξισώσεων (1) και (2) στη (3) κι' έχουμε:
    x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2*(xy+yz+zx)
    x^2+y^2+z^2=15^2-2*72
    x^2+y^2+z^2=225-144
    x^2+y^2+z^2=81
    Δοκιμές:
    Για:
    x=3, y=6, z=6
    x=6, y=3, z=6
    x=6, y=6, z=3
    Έχουμε:
    x+y+z=15 ===> 3+6+6=15
    x^2+y^2+z^2=81
    3^2+6^2+6^2=81
    9+36+36=81
    Για:
    x=4, y=4, z=7
    x=4,y=7,z=4
    x=7, y=4, z=4
    Έχουμε:
    x+y+z=15 ===> 4+4+7=15
    x^2+y^2+z^2=81
    4^2+4^2+7^2=81
    16+16+49=81
    Άρα ισχύει:
    3 ≤ x ≤ 7.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)