Και στο τέλος eisatopon

(i) Αν $f:[a,b]\to R$ συνεχής συνάρτηση με $f(x)\ge 0$, για κάθε $x\in [a,b]$ και 

${\int }_a^{b}f(x)dx=0$ 

να αποδείξετε ότι $f=0$. 

(ii) Αν $f:[a,b]\to R$ συνεχής συνάρτηση με 

${\int }_a^b{f}^2(x)dx=0$ 

να αποδείξετε ότι $f=0$. 

(iii) Αν για κάθε $f,g:[a,b]\to R$ συνεχείς συναρτήσεις ισχύει

${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$ 

να αποδείξετε ότι $f=0$. 

(iv) Εξετάστε αν υπάρχει θετική συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to R$ τέτοια ώστε 

${\int }_0^{1}f(x)dx=1$, ${\int }_0^{1}xf(x)dx=2$ και ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx=1$. 

(Υπόδειξη: Με άτοπο, μελετήστε το ολοκλήρωμα ${\int }_0^1(x-1{)}^{2}f(x)dx$ και χρησημοποιήσετε το ερώτημα (i))