Και στο τέλος eisatopon

(i) Αν $f : [a, b] → R$ συνεχής συνάρτηση με $f(x) ≥ 0$, για κάθε $x ∈ [a, b]$ και 

$\int_a^b f(x) dx=0$ 

να αποδείξετε ότι $f = 0$. 

(ii) Αν $f : [a, b] → R$ συνεχής συνάρτηση με 

$\int_a^b f^2 (x)  dx=0$ 

να αποδείξετε ότι $f = 0$. 

(iii) Αν για κάθε $f, g : [a, b] → R$ συνεχείς συναρτήσεις ισχύει

$ \int_a^b f(x)g(x)dx = 0$ 

να αποδείξετε ότι $f = 0$. 

(iv) Εξετάστε αν υπάρχει θετική συνεχής συνάρτηση $f : [0, 1] → R$ τέτοια ώστε 

$\int_0^1 f(x) dx=1$, $\int_0^1 xf(x) dx=2$ και $\int_0^1 x^2 f(x) dx=1$. 

(Υπόδειξη: Με άτοπο, μελετήστε το ολοκλήρωμα $\int_0^1 (x-1)^2 f(x) dx$ και χρησημοποιήσετε το ερώτημα (i))