Έστω τρίγωνο $ABC$ όπου $∠BAC = 90^0$ , με περίκεντρο $Ο$ και έγκεντρο $Ι$. Η διχοτόμος της γωνίας $∠BAC$ τέμνει την περιφέρεια του $ABC$ στα σημεία $A$ και $P$.
Έστω $Q$ η προβολή του $P$ πάνω στην $ΑΒ$, και $R$ η προβολή του $I$ πάνω στο $PQ$.
Αποδείξτε ότι το $RO$ διχοτομεί το $CI$.
Είναι OP/RP= OP/ (PC cos 45)=1 οπότε OP=RP.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή γ. OPR= 45+ γ. APO= γ. APC= γ. ABC έπεται
ότι γ. ORP= 90- γ. ABC/2 = γ. PIC. Επομένως αν M η τομή των RO , CI τότε γ. MRP=γ. MIP επομένως το RIMP είναι εγγράψιμο οπότε γ. PMI=90 . Επειδή στο ισοσκελές PIC με PI=PC το PM είναι ύψος, θα είναι και διάμεσος κλπ.
Σωκράτη, φαντάζομαι παρόμοια θα είναι και η επίσημη λύση.
Νομίζω παραείναι απλή για διαγωνισμούς ...
ΑπάντησηΔιαγραφή