Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 13ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι)

ΘΕΜΑ 1

Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς  και τη μικρότερη τιμή της σταθεράς  για τις οποίες η ανισότητα

ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς 

ΘΕΜΑ 2

Σε μια παιδική χαρά παίζουν  παιδιά, όπου  Κάθε παιδί φοράει ένα χρωματιστό καπέλο και κάθε ζευγάρι παιδιών κρατά μια χρωματιστή κορδέλα. Για κάθε παιδί, το χρώμα κάθε κορδέλας που κρατά είναι διαφορετικό και επίσης διαφορετικό από το χρώμα του καπέλου που φορά. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν;

ΘΕΜΑ 3

Έστω  το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και  διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου 

Τα σημεία  και  ανήκουν στις ευθείες  και  ώστε 

Δείξτε ότι οι ευθείες  και  είναι κάθετες.

ΘΕΜΑ 4

Έστω  θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος  τέτοιος ώστε ο αριθμός  να διαιρείται με τον 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica