Κυρτότητα και εφαπτομένη

i) α)΄Εστω μια συνάρτηση $f : I → R$ συνεχής στο $I$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $I$. 

Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή αν και μόνο αν το γράφημα της $f$ κείται πάνω από την εφαπτομένη της σε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$ln x ≤ \sqrt{x} − \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , $∀ x ≥ 1$. 

(ii) ΄Εστω $g : [0, +∞) → [0, +∞)$ κοίλη συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι 

$g(x + y) ≤ g(x) + g(y)$, $∀ x, y ≥ 0$.