Ένας κύριος μπήκε σε μια τράπεζα για να εξαργυρώσει μια επιταγή. Κατά την παράδοση των χρημάτων, ο ταμίας του έδωσε κατά λάθος δολάρια για σεντς και σεντς για δολάρια.
Έβαλε τα χρήματα στην τσέπη του χωρίς να τα εξετάσει και ξόδεψε ένα νίκελ στο δρόμο του για το σπίτι.
Στη συνέχεια διαπίστωσε ότι κατείχε ακριβώς το διπλάσιο του ποσού της επιταγής. Δεν είχε χρήματα στην τσέπη του πριν πάει στην τράπεζα.
Ποιο ήταν το ακριβές ποσό αυτής της επιταγής;
Αντιστοιχία: Penny = 1 cent, nickel = 5c, dime = 10c, quarter = 25c
Το ακριβές ποσό της επιταγής ήταν 31 δολάρια και 63 σεντς. Έστω x τα δολάρια και y τα σεντς. Το ένα δολάριο ισούται με 100 σεντς, οπότε το αρχικό ποσό της επιταγής ήταν 100x+y (1). Ο ταμίας έκανε λάθος και του έδωσε σεντς για δολάρια και δολάρια για σεντς, δηλαδή, (100y+x) (2)
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή από τα χρήματα της επιταγής που εξαργύρωσε ξόδεψε 5 ΄σεντς, βάσει της εκφώνησης του προβλήματος το ποσό που του έμεινε ήταν ίσο με το διπλάσιο ποσό της επιταγής που έδωσε στο ταμία για να την εξαργυρώσει. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
x+100y–5=2*(100x+y) (3)
x+100y-5=2*(100x+y)
x+100y-5=200x+2y
100y-2y=200x-x+5
98y=199x+5
y=(199x+5)/98 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "x" τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "y" είναι ο αριθμός x=31
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στη (4) κι’ έχουμε:
y=(199x+5)/98 ===> y=((199*31)+5)/98 ===>
y=(6.169+5)/98 ===> y=6.174/98 ===> y=63 (5)
Επαλήθευση:
x+100y–5=2*(100x+y)
31+100*63-5=2*((100*31)+63)
31+6.300-5=2*(3.100+63)
31+6.300-5=6.200+126
31+6.300-5=6.326 ο.ε.δ.
Το ποσό 6.326 είναι το διπλάσιο της επιταγής που πήγε να εξαργυρώσει στην τράπεζα.
Κάρλο, το ζευγάρι (x,y)=(31,63) δεν είναι το μοναδικό με τιμή x από 1 μέχρι Ν (μέχρι πόσο φτάνει άραγε αυτό το Ν;;) που ικανοποιεί την εξίσωση (4). Π.χ. υπάρχει και το ζευγάρι (129,262). Δε θα μπορούσε λοιπόν η επιταγή να είναι 129 δολάρια και 262 σεντς και ο ταμίας να έδωσε 262 δολάρια και 129 σεντς;;🙄
ΑπάντησηΔιαγραφήΕίναι το μοναδικό, διότι καθορίσαμε ότι το δολάριο ισούται με 100 σεντς, το σεντ δεν μπορεί να υπερβαίνει τα 99, οπότε βρίσκουμε τη τιμή του σεντ που είναι μικρότερη του 100 (y<100) και έχει εύρος από 1 έως και 99.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε αντίθετη περίπτωση υπάρχουν πολλές λύσεις, όπως
ΑπάντησηΔιαγραφή262, 129 - 461, 227 - 660, 325 κλπ.
Σωστά, άρα δίνουμε τιμές x, y όχι από 1 μέχρι Ν γενικώς, αλλά από 1 μέχρι 99 ειδικώς. Σε αυτό το εύρος λύση υπάρχει μόνο μία.
ΑπάντησηΔιαγραφήΝαι, έπρεπε να γράψω από το 1 έως το 99, ώστε να αποκλειστούν οι άλλες λύσεις.
ΑπάντησηΔιαγραφή