27η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (JBMO) 2023 - TΑ ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1 

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί και να είναι και οι δύο δυνάμεις του .

Πρόβλημα 2

Να αποδείξετε ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς και , οι οποίοι δεν είναι όλοι ίσοι με , ισχύει η παρακάτω ανισότητα:

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Πρόβλημα 3

Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν εναλλάξ το παρακάτω παιχνίδι σε ένα πλέγμα, με την Αλίκη να ξεκινάει πρώτη. Αρχικά το πλέγμα είναι κενό. Επιλέγουν με τη σειρά τους έναν αριθμό από το έως και το , ο οποίος δεν είναι ακόμα γραμμένος σε κάποιο από τα κελιά, και επιλέγουν ένα κενό κελί και τον τοποθετούν στο κελί αυτό. Όταν δεν έχει απομείνει κάποιο κενό κελί, η Αλίκη υπολογίζει το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γραμμή, και η βαθμολογία της είναι το μεγαλύτερο από αυτά τα αθροίσματα. Ο Βασίλης υπολογίζει το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη, και η βαθμολογία του είναι το μεγαλύτερο από αυτά τα αθροίσματα. Η Αλίκη κερδίζει εάν η βαθμολογία της είναι μεγαλύτερη από τη βαθμολογία του Βασίλη και ο Βασίλης κερδίζει εάν η βαθμολογία του είναι μεγαλύτερη από τη βαθμολογία της Αλίκης. Αλλιώς, δεν κερδίζει κανείς.

Να βρεθεί εάν κάποιος από τους παίκτες έχει στρατηγική νίκης, και εάν ναι, να προσδιοριστεί ποιος από τους δύο.

Πρόβλημα 4

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο με περίκεντρο . Έστω το ίχνος του ύψους από το στη και έστω το μέσο του . Tα σημεία και είναι τα περίκεντρα των τριγώνων και , αντίστοιχα. Αν , να αποδείξετε ότι τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά.

Πηγή: mathematica