Προετοιμασία για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών): 1ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης

   1ο ΤΕΣΤ   

ΘΕΜΑ 1

Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό δόθηκαν για λύση 9 εύκολα και 6 δύσκολα προβλήματα. Καθένας από τους συμμετέχοντες μαθητές έλυσε ακριβώς 14 από τα 15 προβλήματα. Για κάθε ζεύγος προβλημάτων, που αποτελείται από ένα εύκολο και ένα δύσκολο πρόβλημα, καταγράψαμε τον αριθμό των μαθητών που έλυσαν και τα δύο προβλήματα του ζεύγους. Το άθροισμα των αριθμών που καταγράψαμε είναι 459.

Πόσοι μαθητές συμμετείχαν στον διαγωνισμό;

ΘΕΜΑ 2

Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο  Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  τέμνει τις πλευρές  και  στα σημεία  και  αντίστοιχα, ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  τέμνει τις πλευρές  και  στα  και  αντίστοιχα. 

Οι ευθείες  και  τέμνουν την ευθεία  στα σημεία  και  αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία  και  είναι ομοκυκλικά.

ΘΕΜΑ 3

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους  οι οποίοι έχουν ένα διαιρέτη  τέτοιον ώστε ο αριθμός  να διαιρεί τον αριθμό 

ΘΕΜΑ 4

Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της σταθεράς  για την οποία για κάθε  με  και  ισχύει

Για την τιμή της  που θα βρείτε, να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη  για τα οποία ισχύει η ισότητα.

 Επιμέλεια: Αθανάσιος Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica