Τα αυγά σε ένα σούπερ μάρκετ πωλούνται σε καρτέλες που περιέχουν μόνο $10, 12$ ή $30$ αυγά ανά καρτέλα. Είναι επομένως αδύνατη η αγορά ακριβώς $14$ αυγών ή μονού αριθμού αυγών.
Ωστόσο, είναι δυνατόν να αγοράσετε ακριβώς $78$ αυγά χρησιμοποιώντας τέσσερις δίσκους των $12$ και ενός δίσκου των $30$ αυγών.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος ζυγός αριθμός αυγών που είναι αδύνατον να αγοράσετε από αυτό το σούπερ μάρκετ;
Ο 38, αλλά ποιος θα μου πεί πώς το ξέρω;;☺
ΑπάντησηΔιαγραφήΕξηγώ φίλτατε σπαζοκεφαλιάρη! 😀
ΔιαγραφήΈστω y αριθμός αυγών που δεν μπορούμε να αγοράσουμε και x οι 12αδες που αγοράζουμε.
Αν το x παίρνει τιμές από 4 και πάνω, τότε ένας από τους αριθμούς y, y-12, y-24, y-36 ,y-48, y-60, y-72, ... είναι αναγκαστικά mod 10, αφού το y λήγει σε ένα από τα ψηφία 0,2,4,6,8. Επομένως, θα μπορεί να γίνει η αγορά. Εξηγώ: Ένας από τους y, y-12,y-24,y-36, y-48, y-60, y-72, ... είναι mod 10, άρα μπορεί σε κάθε περίπτωση να πάρει ορισμένες 10αδες και καμία 30αδα.
Επομένως, θα πρέπει το x να παίρνει τιμές από 3 και κάτω, έτσι ώστε να μην μπορούμε να αγοράσουμε. Θα πρέπει λοιπόν κανένας από τους y,y-12,y-24 , y-36 να μην είναι mod 10 . Άρα πρέπει το y να λήγει σε 8. Αν το y είναι πάνω από 38, τότε θα είναι 48,58, 68, ... όπου στην πρώτη περίπτωση μπορώ να αγοράσω 4 12αδες και σε όλες τις υπόλοιπες μπορώ να αγοράσω 4 12αδες και ορισμένες 10αδες και καμία 30αδα. Επομένως, το μέγιστο y είναι το 38. Εγκρίνεις Θανάση;
Φυσικά εγκρίνω Μιχάλη και σε ευχαριστώ που δέχτηκες την 'πρόκληση! Μία απλή εξήγηση που θα έδινα είναι:
ΔιαγραφήΟ 38 δεν μπορεί να σχηματισθεί ως γραμμικός συνδυασμός των 10, 12, 30 με χρήση μη αρνητικών ακέραιων συντελεστών. Οι 40 έως 48 μπορούν, ως εξής:
40=4*10
42=1*12+1*30
44=2*10+2*12
46=1*10+3*12
48=4*12
Κάθε ζυγός μεγαλύτερος του 48 μπορεί να σχηματισθεί προσθέτοντας ακέραιο αριθμό 10-άδων στους ζυγούς από 40 έως 48.
Επομένως, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 38.
Πολύ ωραία κι αυτή η εξήγηση! Εγώ το πήγα μέσω Λαμίας.
Διαγραφή