Δευτέρα 29 Μαΐου 2023

Θετικός ακέραιος

Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $n$, ($n\ge 3$), έστω το $f(n)$ υποδηλώνει τον αριθμό των μη ομοιόμορφων ακέραιων τριγώνων με περίμετρο $n$ 
(π.χ. $f(3)=1 ,\,f(4)=0,\,f(7)=2$).
Δείξτε ότι:
1. $f(1999)>f(1996)$,
2. $f(2000)=f(1997)$.
Βρείτε τον θετικό ακέραιο $n$ έτσι ώστε
$133^5+110^5+84^5+27^5=n^5$.
Αναρτήθηκε από στις 29.5.23
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. papadim30 Μαΐου 2023 στις 2:04 μ.μ.

    Ένας σχετικά απλός τρόπος να δείξουμε τα 1. και 2. είναι μέσω της τριγωνικής ανισότητας, ως εξής:

    1.
    Περίμετρος 1999: max μεγαλύτερης πλευράς 999, min άθροισμα των δύο μικρότερων πλευρών 1000

    Περίμετρος 1996: max μεγαλύτερης πλευράς 997, min άθροισμα των δύο μικρότερων πλευρών 998

    Μπορούμε σε κάθε τρίγωνο περιμέτρου 1996 να προσθέτουμε 1 μονάδα σε κάθε πλευρά και να έχουμε ένα τρίγωνο περιμέτρου 1999. Αλλά το ανάποδο δεν είναι πάντα εφικτό, αφού π.χ. το τρίγωνο 999-500-500, περιμέτρου 1999, δεν δίνει τρίγωνο 998-499-499, περιμέτρου 1996.
    Επομένως f(1999)>f(1996)

    2.
    Περίμετρος 2000: max μεγαλύτερης πλευράς 999, min άθροισμα των δύο μικρότερων πλευρών 1001

    Περίμετρος 1997: max μεγαλύτερης πλευράς 998, min άθροισμα των δύο μικρότερων πλευρών 999

    Κάθε τρίγωνο περιμέτρου 2000, με αφαίρεση 1 μονάδας από κάθε πλευρά δίνει τρίγωνο περιμέτρου 1997 και αντίστροφα.
    Επομένως f(2000)=f(1997)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. papadim30 Μαΐου 2023 στις 2:17 μ.μ.

      Στη β παράγραφο του 1, min άθροισμα μικρότερων πλευρών 999.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)