Προς Maclaurin

(1) Γνωρίζουμε ότι $\cos x \leq 1$ για κάθε $x$. Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = x - \sin x$$ να αποδείξετε ότι $\sin x \leq x$ for $x \geq 0$.

(2) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = \cos x - \left(1 - {x^2\over 2}\right)$$ να αποδείξετε ότι $\cos x \geq 1 - {x^2\over 2}$ for $x \geq 0$.

(3) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = \left(x - {x^3 \over 3!}\right) - \sin x $$ να αποδείξετε ότι $\sin x \geq (x - {x^3 \over 3!})$ for $x \geq 0$.

(4) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x) = \cos x - \left(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4\over 4!}\right) $$ να αποδείξετε ότι $\cos x \leq \left(1 - {x^2\over 2!} + {x^4 \over 4!}\right)$ for $x \geq 0$.

(5) Τι μπορείτε να πείτε για τη συνέχιση αυτής της διαδικασίας;

Πηγή: nrich.maths