Προς Maclaurin

(1) Γνωρίζουμε ότι $\cos x\le 1$ για κάθε $x$. Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x)=x-\sin x$$ να αποδείξετε ότι $\sin x\le x$ for $x\ge 0$.

(2) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x)=\cos x-(1-\frac{x^2}{2})$$ να αποδείξετε ότι $\cos x\ge 1-\frac{x^2}{2}$ for $x\ge 0$.

(3) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x)=(x-\frac{x^3}{3!})-\sin x$$ να αποδείξετε ότι $\sin x\ge (x-\frac{x^3}{3!})$ for $x\ge 0$.

(4) Mε τη βοήθεια της παραγώγου της συνάρτησης $$f(x)=\cos x-(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!})$$ να αποδείξετε ότι $\cos x\le (1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!})$ for $x\ge 0$.

(5) Τι μπορείτε να πείτε για τη συνέχιση αυτής της διαδικασίας;

Πηγή: nrich.maths