Το άρθρο του κ. Δόρτσιου που ακολουθεί έχει σχέση με την ανάρτηση εδώ.
Εισαγωγή
Το όργανο αυτό είναι απλό και στηρίζεται στο γεωμετρικό μετασχηματισμό της Ομοιοθεσίας!
Πράγματι ας σκεφτούμε το ακόλουθο σχήμα:
Το τρίγωνο $ΑΒΜ′$ είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή το σημείο $Β$ και το σημείο $Μ$ ένα σημείο της βάσης του $ΑΜ′$ τέτοιο ώστε:
Από το σημείο $Μ$ φέρουμε τις παράλληλες προς τις πλευρές $ΒΑ$ και $ΒΜ′$ και σχηματίζεται το παραλληλόγραμμο $ΜΕΒΖ$. Έτσι εύκολα διαπιστώνεται ότι αν θέσουμε:
$ΜΕ=m$ ݉και $ΜΖ = ݊n$
θα είναι:
$m+ n = AB = BM′$ (2)
και αυτό γιατί στο ανωτέρω σχήμα βλέπουμε τρία ισοσκελή τρίγωνα.
Από το θεώρημα του Θαλή και από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\dfrac{ΑΜ'}{ΑΜ}=\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{m+n}{n}=1+\dfrac{m}{n}$
Δηλαδή, ο λόγος της ομοιοθεσίας:
$l= 1+\dfrac{m}{n}$ (4)
Το ανωτέρω σχήμα αν σε όλες τις ενώσεις των τμημάτων είναι αρθρωτό και η κατασκευή του είναι τέτοια, ώστε να κάθε φορά που θέλουμε άλλο λόγο ομοιοθεσίας, να μετακινούμε το σημείο $M$ επί της βάσης του αρχικού τριγώνου και κατά συνέπεια να αλλάζουν και τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου $MEBZ$, τότε πετυχαίνουμε να έχουμε "αντίγραφα" ενός σχήματος σύμφωνα με τις διαστάσεις που θέλουμε.
Επίσης στην όλη κίνηση του παντογράφου αυτού το σημείο ως κέντρο ομοιοθεσίας παραμένει πάντα σταθερό.
Στην πράξη βέβαια στα σημεία $Μ$ και $Μ′$ και στο τελικό αυτό όργανο υπάρχουν αντίστοιχα μια ακίδα και μια γραφίδα. Η ακίδα ακολουθεί την αύλακα του δοθέντος σχήματος και η γραφίδα σημειώνει το αντίγραφο.
Παράδειγμα
Στο παράδειγμα που ακολουθεί έχουμε μια καμπύλη η οποία σε πολικές συντεταγμένες έχει την ακόλουθη εξίσωση:
$r= 1 +cos(3θ)$ (5)
Εφαρμόζοντας τον παντογράφο αυτόν μπορούμε να παράξουμε αντίγραφο όμοιο με το αρχικό μας σχήμα όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
Κάντε κλικ στην εικόνα.
Ο παντογράφος αυτός είναι ένα σχήμα που χρησιμοποιείται σε εξελιγμένη μορφή και σήμερα σε παραγωγή αντιγράφων στο χώρο της τέχνης αλλά και στη βιομηχανία.
Βασιλεία
19 Απριλίου 2023
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου