Μη αύξουσα παράγωγος

Έστω $f : [0, 1] → R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση, με μη αύξουσα παράγωγο τέτοια ώστε 

$f(0) = 0$ και $f ′ (1) > 0$. 

α) Να αποδειχθεί ότι 

$f(1) ≥ f ′ (1)$. 

β) Να αποδειχθεί ότι

$\int_0^{1}\dfrac{1}{1+ f^2(x)} dx ≤ \dfrac{f(1)}{f ′(1)}$.

Πότε ισχύει η ισότητα;