Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο Θέμα

Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to R$, για την οποία ισχύει:

 $f(x)e^{f(x)}={\displaystyle \frac{1}{x}}$ 

για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Β. Δείξτε ότι:

α) $f(x)>0$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$.

β) Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\mathrm{\infty })$.

γ) Η $f$ είναι συνεχής στο $(0,\mathrm{\infty })$.

δ) Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\mathrm{\infty })$.

ε) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in ({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$τέτοιο ώστε 

$f(\xi )=1$.

στ) Να λυθεί η εξίσωση 

$1+f(e)=x+f(e^x)$

στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$.

Γιάννης Τσόπελας

 Περιοδικό «Απολλώνιος» τ. 5