Το μεσημέρι δύο τρένα απέχουν 1000 km. Το πρώτο τρένο βρίσκεται βόρεια του δεύτερου τρένου και ταξιδεύει νότια. Το δεύτερο τρένο ταξιδεύει ανατολικά. Και τα δύο τρένα ταξιδεύουν με την ίδια μέση ταχύτητα 100 km/h.
Δείτε εδώ τη λύση που μου έστειλε ο φίλος Carlo de Grandi.
Την χρονική στιγμή αυτή t θα ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφήSqrt((100t)^2 +(1000- 100t)^2)=100t+100t
Λύνουμε την εξίσωση ως προς t και έχουμε:
t= 5 (sqrt(3)-1).
Ας προσθέσω κι' εγώ τη λύση αναλυτικά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω t ο χρόνος σε ώρες έως ότου η συνολική απόσταση (St) που διανύουν τα δύο τρένα να είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο τρένων.
Δεδομένου ότι κάθε τρένο ταξιδεύει με μέση ταχύτητα υμ=100 km/h, η απόσταση που διανύει κάθε τρένο σε t ώρες είναι S=100t km.
Η συνολική απόσταση που διανύουν τα δύο τρένα είναι:
St=(2 × 100t) = 200t km.
Όρα εδώ, https://imgur.com/a/lmfjPiO , το διάγραμμα που δείχνει τις θέσεις των δύο τρένων μετά από t ώρες.
Το τρένο με κατεύθυνση προς τα νότια ξεκινά από το σημείο B και κινείται προς το σημείο Γ.
Το τρένο με κατεύθυνση προς την ανατολή ξεκινά από το σημείο Α και κινείται προς το σημείο Δ.
Εφ’ όσον BΓ=ΑΔ=100t και BΑ =1000Km, η απόσταση ΓΔ ισούται με:
ΓΔ = 1.000−100t.
Ζητούμενο:
Σε ποια χρονική στιγμή η συνολική απόσταση που διανύουν τα δύο τρένα θα είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο τρένων, δηλαδή,
ΓΔ=ΒΓ+ΑΔ=100t+100t.
Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΓΑΔ έχουμε:
ΓΔ^2=ΓΑ^2+ΑΔ^2 == γ^2=α^2+β^2
(200t)^2=(1.000-100t)^2+(100t)^2
40.000t^2=1.000.000-2*1.000*100t+10.000t^2+10.000t^2
40.000t^2=1.000.000-200.000t+10.000t^2+10.000t^2
40.000t^2-10.000t^2-10.000t^2+200.000t-1.000.000=0
40.000t^-20.000t^2+200.000t-1.000.000=0
20.000t^2+200.000t-1.000.000=0
Διαιρούμε την εξίσωση δια 20.οοο κι’ έχουμε:
t^2+10t-50 (1)
Εφαρμόζοντας τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ,
x = (-β±sqrt[(^β)-4αγ])/2*α , έχουμε:
t= (-10±sqrt[(10)^2-4*10*(-50)])2*1
t=(-10±sqrt[100+200])/2
t=(-10±sqrt[300])/2
t=(-10±sqrt[100*3])/2
t=(-10±sqrt[10^2*3])/2
t=(-10±10sqrt[3])/2
Διαιρούμε δια 2, κι’ έχουμε:
t= -5±5sqrt[3]/2
t= -5+5*1,732
t= -5+ 8,66
t=3:66h (≈3:40h)
Εφόσον t>0, το -5-5sqrt[3] είναι μη αποδεκτό.
Ως εκ τούτου αποδεκτό είναι μόνο το t=3:66h.
Η απόσταση μεταξύ των δύο τρένων θα είναι ίση με τη συνολική απόσταση που έχουν διανύσει σε (−5 +5sqrt[3]) ώρες, η οποία είναι περίπου 3 ώρες και 40 λεπτά αφότου φύγουν από την αρχική τους θέση. Η ώρα θα είναι περίπου 3:40 μ.μ