Σάββατο 18 Δεκεμβρίου 2021

Τιμή συνάρτησης

Έστω συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει 
$f ′ (x) = f^2(x)$ και $f(0) = 1$. 
Να βρεθεί η τιμή 
$f(2/3)$.
Αναρτήθηκε από στις 18.12.21
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. papadim18 Δεκεμβρίου 2021 στις 7:31 μ.μ.

    Η f'(x)=f^2(x) είναι απλή διαφορική εξίσωση με λύση f(x)=1/(α-x), α: σταθερά.
    Αφού f(0)=1 => 1/(α-0)=1 => α=1, οπότε f(x)=1/(1-x) =>
    f(2/3)=1/(1-2/3)=3

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Μαρίνος Ματιάτος20 Δεκεμβρίου 2021 στις 2:43 μ.μ.

    Έχουμε f'(x)= f(x)^2
    f'(x)/f(x)^2 = 1 (για τις τιμές του x, για τις οποίες η f(x) είναι διάφορη του μηδενός)
    -f'(x)/f(x)^2 = -1
    (1/f(x))'=(-x)'
    1/f(x)=-x+c
    f(x)= 1/(c-x)
    Επειδή f(0)=1 συνεπάγεται 1=1/(c-0)
    1/c = 1
    c=1

    Συνεπώς έχουμε f(x)= 1/1-x, για x διάφορο του 1 και επειδή η f(x) είναι και διάφορη του μηδενός, αυτή αποτελεί λύση της διαφορική εξίσωσης.
    Άρα f(2/3)= 1/(1-(2/3))= 1/(1/3)=3.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)