Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ενδιαφέρουσες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$  και $g(x)=x^2-3x+3$,

x ϵ (0,+∞) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο $A(1,1)$.

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των $C_f$ και $C_g$  στο διάστημα $(0,+\infty )$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

2. Αν είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $R$, με 

$f(0)=g(0)$ και $fʹ(x)>gʹ(x)$ 

για κάθε x0ϵ R, να αποδείξετε ότι

$f(x)<g(x)$ στο $(-\infty ,0)$   και $f(x)>g(x)$   στο $(0,+\infty )$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

$f(x)={\displaystyle \frac{lnx}{x}}$.

ii) Να αποδείξετε ότι ${\alpha }^{\alpha +1}>(\alpha +1{)}^{\alpha }$ για κάθε $\alpha >e$.

iii) Να αποδείξετε ότι για $x>0$ ισχύει

 $2^x=x^2\iff f(x)=f(2)$  

και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση $2^x=x^2$  έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις $x_1=2$, $x_2=4$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

7. i) Αν $\alpha ,\beta >0$ και για κάθε $xϵR$  ισχύει ${\alpha }^x+{\beta }^x\ge 2$, να αποδείξετε ότι $\alpha \beta =1$.

ii) Αν $\alpha >0$ και για κάθε $xϵR$ ισχύει ${\alpha }^x\ge x+1$, να αποδείξετε ότι $\alpha =e$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

9. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

$f(x)=e^x-\lambda x$ , $\lambda >0$

ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του $\lambda >0$  για την οποία ισχύει

$e^x\ge \lambda x$, 

για κάθε $xϵR$.

iii) Για την τιμή του $\lambda$ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία $y=\lambda x$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g(x)=e^x$.