Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Ενδιαφέρουσες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

$f(x)=\dfrac{1}{x}$  και $g(x) = x^2 − 3x + 3$,

x ϵ (0,+∞) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο $A(1,1)$.

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των $C_f$ και $C_g$  στο διάστημα $(0,+∞)$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

2. Αν είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $R$, με 

$f(0) = g(0)$ και $f ʹ(x) > gʹ(x)$ 

για κάθε x0ϵ R, να αποδείξετε ότι

$f(x) < g(x)$ στο $(−∞,0)$   και $f(x) > g(x)$   στο $(0, +∞)$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

$f(x)=\dfrac{lnx}{x}$.

ii) Να αποδείξετε ότι $α^{α+1} > (α + 1)^α$ για κάθε $α > e$.

iii) Να αποδείξετε ότι για $x > 0$ ισχύει

 $2^x = x^2 ⇔ f(x) = f(2)$  

και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση $2^x = x^2$  έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

7. i) Αν $α,β > 0$ και για κάθε $x ϵ R$  ισχύει $α^x + β^x ≥ 2$, να αποδείξετε ότι $αβ = 1$.

ii) Αν $α > 0$ και για κάθε $x ϵ R$ ισχύει $α^x≥ x + 1$, να αποδείξετε ότι $α = e$.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

9. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

$f(x) = e^x − λx$ , $λ > 0$

ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του $λ > 0$  για την οποία ισχύει

$e^x ≥ λx$, 

για κάθε $x ϵ R$.

iii) Για την τιμή του $λ$ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία $y = λx$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $g(x) = e^x$.