Όριο

Έστω $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $R$ τέτοια ώστε

$f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=1$ και $f^{″}(0)=2$. 

Να υπολογιστεί το όριο

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)-1}}$ 
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

H λύση που γράφει ο Μαρίνος Ματιάτος κάτω στα σχόλια: 

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)-1}=\underset{x\to 0}{lim}(\frac{x}{f^{\prime }(x)-1}\ast \frac{f(x)-f^{\prime }(x)}{x}=$

$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{x}{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}\ast \frac{f(x)-f^{\prime }(x)}{x})=$

$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{x}{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}\ast \frac{f(x)-1+1-f^{\prime }(x)}{x})=$

$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{x}{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}\ast \frac{f(x)-f(0)+f^{\prime }(0)-f^{\prime }(x)}{x})=$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}\ast (\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}-\underset{x\to 0}{lim}\frac{(f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0))}{x})=$

 $\frac{1}{f^{″}(0)}\ast (f^{\prime }(0)-f^{″}(0))=\frac{1}{2}\ast (1-2)=-\frac{1}{2}$