Ορθές προβολές

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Ε$ σημείο επί της πλευράς $ΑΒ$, τέτοιο ώστε $Δ$ η προβολή του $Ε$ επί της $ΒΓ$, $Ζ$ η προβολή του $Δ$ επί της $ΑΓ$ και $Ε$ η προβολή του $Ζ$ επί της $ΑΒ$.

Να βρεθεί το μήκος του τμήματος $ΒΕ$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.
Λύση
Δείτε τις λύσεις που μου έστειλαν ο Νίκος Φραγκάκης (Doloros) και ο Κώστας Δόρστιος:

Λύση του Νίκου Φραγκάκη

Επειδή  $\widehat {EZC} = \widehat {BAC} + \widehat {AEZ} \Rightarrow \theta  + 90^\circ  = A + 90^\circ $ και άρα $\boxed{\theta  = A}$. Ομοίως εργαζόμενοι έχουμε $\boxed{\phi  = B\,,\,\,\,\omega  = C}$. Δηλαδή τα τρίγωνα $ZED,ABC$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας έστω $k$. Θα είναι λοιπόν $ED = ka,DZ - kb,SE = kc$. Θέτουμε $BD = x,\,\,CZ = y,\,\,AE = w$ και το ύψος $AO = {h_1} = \dfrac{{2E}}{a}$, όπου $E$το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$. Από τα επίσης και προφανώς όμοια τρίγωνα $BED,BAO$ έχουμε: \[\dfrac{{BE}}{{BA}} = \dfrac{{DE}}{{OA}} \Rightarrow \dfrac{{BE}}{c} = \dfrac{{ka}}{{\dfrac{{2E}}{a}}} \Rightarrow \boxed{BE = \dfrac{{k{a^2}c}}{{2E}}}\,\,(1)\]. Επειδή ο λόγος εμβαδών όμοιων τριγώνων  ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας , θα είναι $(DEZ) = {k^2}E$ και αφού $E = (ABC) = (BDE) + (CZD) + (AEZ) + (DEZ)$ θα προκύψει η ισότητα: $E = \dfrac{k}{2}(ax + by + cw) + {k^2}E$ και αν συμβολίσουμε με $\boxed{V = (ax + by + cw)}$ θα είναι $\boxed{V = 2E\frac{{1 - {k^2}}}{k}}\,\,(2)$. Από την άλλη μεριά και το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο $DEB$ έχουμε : $B{E^2} = B{D^2} + D{E^2}$ ή ${(c - w)^2} = {x^2} + {k^2}{a^2}$ και ομοίως ${(a - x)^2} = {y^2} + {k^2}{b^2},\,\,{(b - y)^2} = {w^2} + {k^2}{c^2}$ . Αν προσθέσουμε τις τρεις τελευταίες κατά μέλη και κάνουμε τις σχετικές απλοποιήσεις θα έχουμε: ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 2V + {k^2}({a^2} + {b^2} + {c^2})$ ή θέτοντας $\boxed{S = {a^2} + {b^2} + {c^2}}$ θα έχουμε $\boxed{V = S\frac{{1 - {k^2}}}{2}}\,\,(3)$. Από τις $(2),(3)$ βρίσκουμε $\boxed{k = \frac{{4E}}{S}}$  και από την $(1)$, $\boxed{BE = \frac{{2{a^2}c}}{S} = \frac{{2{a^2}c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}$.
Λύση του Κώστα Δόρτσιου

Δείτε και ένα δυναμικό σχήμα εδώ.