Έστω $f$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε $f(f(x))=x$, για $x \in [0,1]$.Αν $f(0)=1$, να υπολογιστεί η τιμή του ολοκληρώματος
$\int_0^1(x-f(x))^{2016}dx$.
Indian Statistical Institute ENTRANCE 2016
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Από f(f(x))=x θέτοντας x=0 (με δεδομένο ότι f(0)=1) έχουμε f(1)=0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπειδή f(f(x))=x πιθανές συναρτήσεις είναι αυτές για τις οποίες ισχύει f(x)=αντίστροφη f(x),αυτές είναι οι: f(x)=x,f(x)=c-x,f(x)=c/x,f(x)=ν τάξης ρίζα του (1-x^ν).
Λόγω όμως ότι η f(x)είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1]οι συναρτήσεις με τύπους f(x)=c/x και f(x)= ν τάξης ρίζα του (1-x^ν)απορρίπτονται διότι δεν ορίζονται οι παράγωγοι στα σημεία 0 και 1 αντίστοιχα.Επίσης λόγω ότι ισχύει f(0)=1 και f(1)=0 απορρίπτεται και η συνάρτηση με τύπο f(x)=x,συνεπώς η ζητούμενη συνάρτηση είναι η f(x)=c-x.
Αντικαθιστώντας στην παραπάνω συνάρτηση το x=0 έχουμε f(0)=1=c-0, c=1,άρα η τελική μορφή της f(x)=1-x.
Eπίσης για x=1 έχουμε 1-1=0=f(1),άρα επαληθεύονται οι αρχικές συνθήκες του προβλήματος.
Ολοκλήρωμα από 0 έως 1 (x-(1-x))dx=
Ολοκλήρωμα από 0 έως 1 (2x-1)^2016 dx=
Ολοκλήρωμα από 0 έως 1 u^2016 du/2=1/(2*2017)u^2017=1/(2*2017)(2x-1)^2017 με όρια ολοκλήρωσης 1 και 0=1/2017.
Εκ παραδρομής γράφηκε Ολοκλήρωμα από 0 έως 1 (x-(1-x)) dx αντί γαι το σωστό, Ολοκλήρωμα από 0 έως 1 (x-(1-x))^2016 dx.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕπίσης θα πρέπει να γραφεί το σωστό 1/(2*2017)u^2017 με όρια ολοκλήρωσης 1 και -1