Πέντε μαθητές $Α, Β, Γ, Δ$ και $Ε$ σχηματίζουν μια ομάδα προκειμένου να τρέξουν σε έναν αγώνα ταχύτητας σε στίβο με πέντε διαδρόμους.
Αν ο $Α$ δεν μπορεί να τρέξει στο πρώτο διάδρομο και ο μαθητής $Δ$ δεν μπορεί να τρέξει στον τελευταίο διάδρομο, με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους μαθητές για τον αγώνα;
2006 Singapore Math Olympiad Senior Round 1
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αν δεν υπήρχαν οι περιορισμοί, οι μαθητές θα μπορούσαν να τοποθετηθούν με 5! = 120 τρόπους.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑνάμεσα σε αυτούς, σε 4!=24 ο Α θα έτρεχε στον πρώτο διάδρομο και σε 4!=24 ο Δ θα έτρεχε στον τελευταίο διάδρομο.
Επίσης, σε 3! = 6 από αυτούς, ο Α θα έτρεχε στον πρώτο και ο Δ στον τελευταίο διάδρομο.
Με εφαρμογή της αρχής inclusion – exclusion, οι μαθητές μπορούν να τοποθετηθούν με: 120-2*24+6 = 78 τρόπους.
78.
ΑπάντησηΔιαγραφή1) Ο Δ είναι στον 1: 4! = 24
2) Ο Α στον 5 (και ο Δ όχι στον 1): 3^2*2 = 18
3) κανένας εκ των Α,Δ στις θέσεις 1,5: 3!*3*2 = 36