Ο Χρυσός λόγος του Σωκράτη

Δείτε την εκφώνηση εδώ.

Είναι γνωστό ότι αν

$\phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ 

τότε

${\phi ^2} - \phi = 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\phi ^2} = \phi + 1\,\,\,(1)$. 

Στο σχήμα $\dfrac{R}{b} = \phi \,\,(2)$ και από το θεώρημα του Ευκλείδη (προβολών) στο τρίγωνο $ABC$ θα έχουμε:

$A{B^2} = BD \cdot BC \Rightarrow {(R + b)^2} = (R + \dfrac{b}{2})a$. 

Αν θέσουμε $a = bx$ και λόγω της $(2)$ η προηγούμενη γίνεται:

${(b\phi + b)^2} = (b\phi + \dfrac{b}{2})bx$ 

και άρα:

${(\phi + 1)^2} = x\dfrac{{2\phi + 1}}{2}$. 

Τώρα λόγω της $(1)$ θα προκύψει:

 $2{(\phi + 1)^2} = x({\phi ^2} + \phi ) \Leftrightarrow 2(\phi + 1) = x\phi $, 

ή τελικά:

$2{\phi ^2} = x\phi \Leftrightarrow \boxed{x = 2\phi }$.

Φραγκάκης Νίκος  (Doloros) 2o Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας.