Ο Χρυσός λόγος του Σωκράτη

Δείτε την εκφώνηση εδώ.

Είναι γνωστό ότι αν

$\varphi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ 

τότε

${\varphi }^2-\varphi =1\iff {\varphi }^2=\varphi +1(1)$. 

Στο σχήμα ${\displaystyle \frac{R}{b}}=\varphi (2)$ και από το θεώρημα του Ευκλείδη (προβολών) στο τρίγωνο $ABC$ θα έχουμε:

$A{B}^2=BD\cdot BC\Rightarrow (R+b{)}^2=(R+{\displaystyle \frac{b}{2}})a$. 

Αν θέσουμε $a=bx$ και λόγω της $(2)$ η προηγούμενη γίνεται:

$(b\varphi +b{)}^2=(b\varphi +{\displaystyle \frac{b}{2}})bx$ 

και άρα:

$(\varphi +1{)}^2=x{\displaystyle \frac{2\varphi +1}{2}}$. 

Τώρα λόγω της $(1)$ θα προκύψει:

 $2(\varphi +1{)}^2=x({\varphi }^2+\varphi )\iff 2(\varphi +1)=x\varphi$, 

ή τελικά:

$2{\varphi }^2=x\varphi \iff \boxed{{\displaystyle x=2\varphi }}$.

Φραγκάκης Νίκος  (Doloros) 2o Γ. Ε. Λ. Ιεράπετρας.